YOI 766：和の誤差を消すのは足す順序ではなく、丸めで捨てた端数を次に持ち越すことである

論文766 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/766 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015231）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi766,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Removes the Error in a Sum Is Not the Order of Adding but Carrying Forward the Remainder Discarded by Rounding},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/766},
  doi = {10.5281/zenodo.23015231},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

浮動小数点で小さな数を何度も足すと、誤差がたまる。小さい順に足せば良いと言われる。足す順序を変えることと、丸めで捨てた端数を覚えておくことを、正確な和と比べて数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、そのまま足すと、誤差が積もる。$1.0$ に $10^{-9}$ を $10^{6}$ 回で $\mathbf{8.274037\times10^{-11}}$、$1.0$ の刻みの $\mathbf{372629.503720}$ 倍（第2節）。

第二に、その誤差は、毎回同じ向きの丸めの積み上げである。一回ごとに $8.274037\times10^{-17}$ だけ余分に足され、$10^{6}$ 回分と相対差 $\mathbf{0.000000}$（第3節）。

第三に、小さいほうから足すと、誤差は減る。$8.105454\times10^{-15}$ まで（第2節）。

第四に、これが本稿の芯である。捨てた端数を覚えて返すと、正確に丸めた和まで戻る。カハン加算の誤差 $-1.101964\times10^{-16}$ は、正確に丸めた和と同じ（第2節）。

第五に、小さな例でも同じ、$0.1$ を $10$ 回足すと、そのままでは $0.9999999999999999$、カハン加算では $1.0$（第2節）。

第六に、分離子は、丸めの誤差が毎回同じ向きに出るかである。同じ向きなら回数に比例して積もり、覚えて返せば一回分に収まる（第4節）。

キーワード：カハン加算、丸め誤差、浮動小数点、補償付き総和、足す順序、端数の持ち越し

Abstract

Adding small numbers many times in floating point accumulates error. Adding them in increasing order is said to help.Changing the order of addition and remembering the remainder discarded by rounding are counted against the exact sum.No new theorem or law is claimed.

First, plain addition accumulates error、$10^{-9}$ added to $1.0$ a million times gives $\mathbf{8.274037\times10^{-11}}$, $\mathbf{372629.503720}$ times the spacing at $1.0$ (Section 2).

Second, that error is rounding piled up in one direction、each step adds $8.274037\times10^{-17}$ too much, and a million of those match with a relative difference of $\mathbf{0.000000}$ (Section 3).

Third, adding smallest first reduces the error、to $8.105454\times10^{-15}$ (Section 2).

Fourth, and this is the core. Remembering and returning the discarded remainder brings the sum back to correct rounding、Kahan summation’s error $-1.101964\times10^{-16}$ is the same as the correctly rounded sum’s (Section 2).

Fifth, the same happens in a small case、adding $0.1$ ten times gives $0.9999999999999999$ plainly and $1.0$ by Kahan summation (Section 2).

Sixth, the separator is whether rounding errors come out in the same direction every time、if so they pile up in proportion to the count, and remembering them keeps the error to a single step’s worth (Section 4).

Keywords: Kahan summation, rounding error, floating point, compensated summation, order of addition, carrying the remainder

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/766/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/766 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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