Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「作用は対称なのに、答が対称でない」という同じ見かけが、三つの別々の場所から来ている。本稿はそれを点呼し、それぞれについて何を動かすと破れが動くかを書く。新しい物理法則は主張しない。いずれも標準的な内容である。

第一に、自発的破れでは作用が対称で、真空が対称でない。メキシコ帽型の $V=(|\phi|^2-1)^2$ の真空 $(1,0)$ でヘッセ行列の固有値は $\mathbf{0.0000000008}$ と $8.0000000008$、零がちょうど一つあり、それがゴールドストーン方向である（第2節）。

第二に、その個数は選べない。$O(N)\to O(N-1)$ で零固有値は $N=2,3,4,5$ に対し $1,2,3,4$ 個、つねに $N-1$ である（第3節）。

第三に、明示的破れでは動かすものが違う。対称でない項 $-\varepsilon x$ をラグランジアンに入れると平坦方向が持ち上がり、その量は $\varepsilon$ に比例する（固有値／$\varepsilon$ が $0.999996$ から $0.987876$）（第4節）。

第四に、これが本稿の芯であり、ブレーキである。有限系では自発的破れは起こらない。二重井戸を解くと分裂は $1.5837$ から $0.0385$ へ落ちるが決して零にならず、基底状態は障壁がどれだけ高くても偶関数のままである（非対称性 $5.4\times10^{-14}$）（第5節）。

第五に、量子異常では作用も真空も対称で、測度が対称でない。同じ変換・同じ被積分関数で、$dx$ なら積分が $0.1$ 倍になり、$dx/x$ なら $1.0$ 倍のままである（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい物理法則は主張しない。南部＝ゴールドストーンの定理、明示的破れ、アドラー＝ベル＝ジャッキーの異常、藤川の測度による定式化、有限系に自発的破れが無いことは、いずれも標準的である。また第6節は類推であって導出ではない。カイラル異常を導いてはおらず、示すのは「被積分関数の対称性と測度の対称性は独立である」という構造だけである。加えたのは三つを同じ検算の上に並べたこと、$N-1$ という個数を数値で確かめたこと、擬ゴールドストーンの質量が $\varepsilon$ に比例することを測ったこと、そして有限系では破れないことを、自前で解いた固有値と波動関数で示したことである。

1. 記法と位置づけ

場の理論の言葉は使わず、必要な構造だけを最小の模型で扱う。固有値は自前の実装（小行列はヤコビ回転、三重対角はスターム列の二分法）で求めた。

位置づけ：論文85 は対称性が「可能なこと」の裁定者であると書き、論文107 はネーターの二つの定理を分けた。本稿はその裏側を扱う。対称性が効かなくなるときの、三つの別々の理由である。

2. 自発的：作用は対称で、真空が対称でない

観察 2.1　$V(\phi)=(|\phi|^2-1)^2$ は $\phi\to e^{i\alpha}\phi$ で不変である。ところが最小点は円をなすから、どの一点も不変ではない。

検算 2.2：真空 $(1,0)$ でヘッセ行列の固有値を求める。

（証明終）

検算 2.3：対称変換が真空をどこへ運ぶか。

（証明終）

観察 2.4　同じエネルギー、違う点である。対称性は消えていない。真空を別の真空へ移しただけである。そして、どの真空も対称性で固定されない。

3. 個数は選べない

検算 3.1：$O(N)$ 対称な $V=(\sum x_i^2-1)^2$ の真空でヘッセ行列を対角化する。

（証明終）

観察 3.2　つねに $N-1$ である。この数は選択ではなく、群の次元から、真空をまだ固定している部分群の次元を引いたものである（論文86 が「必然性の四つの根」で対称性を挙げたのと同じ場所である）。

4. 明示的：動かすのはラグランジアンである

検算 4.1：対称でない項 $-\varepsilon x$ を加える。円をなしていた最小点は孤立点に潰れる。

（証明終）

観察 4.2　$\varepsilon=0$ では平坦方向は厳密に平坦である。どんなに小さい $\varepsilon$ でもそれは持ち上がり、持ち上がりは $\varepsilon$ に比例する。ゴールドストーンになりそこねた粒子（擬ゴールドストーン）である。

観察 4.3　動いたのはラグランジアンであって、真空ではない。自発的破れと明示的破れは、見かけが似ていても、手を触れた場所が違う。

5. 芯：有限系では、何も破れない

観察 5.1　同じ二重井戸を量子力学の問題として解く。$H=-d^2/dx^2+a(x^2-1)^2$ とし、三重対角行列のスターム列を自前で書いて固有値を求めた。

検算 5.2

検算 5.3：基底状態のパリティを、逆反復で波動関数を出して測る。

（証明終）

観察 5.4　分裂は加速しながら小さくなるが、決して零にならない。障壁が有限であるかぎり、二つの井戸は互いに話し続けている。

観察 5.5　そして基底状態は、障壁がどれだけ高くても偶関数のままである。すなわち有限系に自発的対称性の破れは無い。それは無限体積の極限についての主張であり、上の分裂こそが、その極限で消えなければならない量である（論文113 が「モジュールは壁ではなく極限である」と書いたのと同じ構造で、極限を取る前と後で言えることが違う）。

観察 5.6　したがって「対称性が破れている」という文には、暗黙の極限が入っている。有限の系を指してそう言うとき、正確には「分裂が観測にかからないほど小さい」と言っている。

6. 量子異常：動かすのは測度である

観察 6.1　三つ目は、作用も真空も対称なのに破れる場合である。異常とはヤコビアンであり、対称でないのは積分の測度である（藤川 $1979$）。

検算 6.2：その構造だけを一次元で見る。$f(x)=e^{-(\log x)^2}$ を取り、$x\to Lx$ に対する積分を二つの測度で比べる。

（証明終）

観察 6.3　同じ変換、同じ被積分関数、違う測度、一方の積分は動かず、他方は動く。「積分されるもの」の対称性と「それが積分される先」の対称性は、独立である。

観察 6.4　これは類推であって、カイラル異常の導出ではない。示したのは住所だけである。作用も真空も動いていない。動いたのは測度である。論文117 が異常次元を「次元解析の反例」として挙げたのと、同じ場所を別の角度から見ている。

7. 点呼

観察 7.1　

観察 7.2　さらに、自発的破れには第四の柵がある。

観察 7.3　三つは強さの階段ではない。どれが起きているかを決めるのは、どこに手を触れたかである。

8. 結論

1. 自発的破れの平坦方向は厳密に平坦（検算2.2）：固有値 $8\times10^{-10}$ と $8.0$。
2. ゴールドストーンの個数は $N-1$（検算3.1）：$N=5$ で $4$ 個。
3. 明示的破れの持ち上がりは $\varepsilon$ に比例（検算4.1）：$0.999996$ から $0.987876$。
4. 有限系では破れない（検算5.2・5.3）：分裂は $0.0385$ まで落ちても零にならず、基底状態は偶関数（$5.4\times10^{-14}$）。
5. 異常が動かすのは測度（検算6.2）：$dx$ で $0.1$ 倍、$dx/x$ で $1.0$ 倍。

結び：「対称性が破れている」と聞いたら、次に問うべきはどこに手を触れたかである。式を書き換えたのか、答を一つ選んだのか、それとも数え方を変えたのか。三つとも同じ言葉で呼ばれ、同じ見かけをしていて、直し方はそれぞれ違う。

参考文献

1. Nambu, Y. (1960). Quasi-particles and gauge invariance in the theory of superconductivity. Physical Review, 117(3).
2. Goldstone, J. (1961). Field theories with superconductor solutions. Il Nuovo Cimento, 19(1).
3. Goldstone, J., Salam, A., & Weinberg, S. (1962). Broken symmetries. Physical Review, 127(3).
4. Adler, S. L. (1969). Axial-vector vertex in spinor electrodynamics. Physical Review, 177(5).
5. Bell, J. S., & Jackiw, R. (1969). A PCAC puzzle. Il Nuovo Cimento A, 60(1).
6. Fujikawa, K. (1979). Path-integral measure for gauge-invariant fermion theories. Physical Review Letters, 42(18).
7. Anderson, P. W. (1972). More is different. Science, 177(4047).
8. 山岸勇輝 (2026). ガロアからネーターへ [論文85]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21741344
9. 山岸勇輝 (2026). 必然性の四つの根 [論文86]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21744839
10. 山岸勇輝 (2026). ゲージという原理 [論文96]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758671
11. 山岸勇輝 (2026). 二つのネーター [論文107]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837205
12. 山岸勇輝 (2026). モジュールは壁ではなく、極限である [論文113]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21962996
13. 山岸勇輝 (2026). スケール不変性は、四通りに指数を選ぶ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
14. 山岸勇輝 (2026). 最小エントロピー生成は、原理ではなく柵つきの定理である [論文143]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22082367
15. 山岸勇輝 (2026). その特異点は、どちらの持ち物か [論文174]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22094572

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「「対称性の破れ」は一語ではない」［論文175］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22097873

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Symmetry Breaking” Is Not One Word},
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  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/175},
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  note = {Preprint, edition 1}
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