Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

保険料は「事故の確率かける損害額」で決まると考えたくなる。本稿が問うのはそれで足りるかである。答えは足りず、足りない分を決めているのは加入者の数である。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、事故確率 $0.01$・損害 $100$ 万円なら、期待損失は $\mathbf{10000}$ 円である（第2節）。

第二に、一件あたりの標準偏差は $\mathbf{99498.74}$ 円で、期待損失の $\mathbf{9.9499}$ 倍ある（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。一件だけなら、必要な上乗せは期待損失の $\mathbf{23.1469}$ 倍になる（第3節）。

第四に、$100$ 万人集めると、上乗せは期待損失の $\mathbf{0.0231}$ 倍まで落ちる（第3節）。

第五に、加入者を $100$ 倍にすると、上乗せはちょうど $\mathbf{0.1}$ 倍になる（第3節）。

第六に、分離子は「危険を何人で分けたか」であって、確率の推定精度ではない（第5節）。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。大数の法則・安全割増（セーフティローディング）・破産確率はすべて既知である。保険数理を作らない。リスク理論の破産確率の厳密な評価や、再保険の設計には立ち入らない。名前を挙げるにとどめる。制度を論じない。規制上の必要資本や会計は主題ではない。独立性を仮定する。事故が互いに独立であるとする。地震や感染のように相関する危険では、この計算は成り立たない。正規近似を用いる。合計の分布を正規分布で近似する。$n$ が小さいときの精度は主張しない。費用を扱わない。事務費・利潤・逆選択・モラルハザードは主題ではない。既刊との関係：論文364 は選別だけで平均が上がりばらつきが縮むことを示した。そこでは標本の切り取りが数を作った。ここでは標本の数が数を作る。論文371 は原因が無くても差が出ることを示した。そこでも「見えた差」の出所が問題だった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。期待損失と安全割増は、その基準で別根である。論文367 は総量が保存され配分だけが選べることを示した。ここでは総量が $1/\sqrt{n}$ で縮む。加えたのは、四つの規模で上乗せを数に出したこと、一件では上乗せが期待損失の $23$ 倍を超えることを示したこと、$n$ を $100$ 倍にすると上乗せがちょうど $0.1$ 倍になることを示したこと、上乗せを $5$ パーセントに抑える加入者数 $214311$ 人を逆算したこと、分離子を「何人で分けたか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：事故確率 $p=0.01$、損害額 $L=10^6$ 円、加入者 $n$ 人とする。

$$\text{期待損失}=pL,\qquad
\sigma_1=L\sqrt{p(1-p)},\qquad
\sigma_n=\frac{\sigma_1}{\sqrt{n}},\qquad
\text{上乗せ}=z\,\sigma_n$$

$z=2.3263478740$ は正規分布の $99$ パーセント点である（破綻確率 $1$ パーセント）。

観察 1.1　期待損失は「平均すればいくら出るか」である。$pL=10000$ 円、これだけを集めれば、長期的には収支が合う。

観察 1.2　だが「長期的に」が問題である。短期には外れる。外れたときに払えなければ、そこで終わる。

観察 1.3　だから上乗せが要る。ばらつきの大きさで決まる。本稿はその大きさを規模ごとに出す。

問い：保険料は、期待損失でよいか。

2. 一件あたりのばらつきは、期待損失の $9.9499$ 倍ある

計算 2.1：一件の統計量（本稿で計算）。

観察 2.2　ばらつきが期待値の $9.9499$ 倍ある。これは「めったに起きないが起きると大きい」の数値的な姿である。$99$ パーセントの場合に $0$ 円、$1$ パーセントの場合に $100$ 万円だからである。

観察 2.3　平均の周りに集まっていない。実際に $10000$ 円の損害が出ることは、一度も無い。$0$ 円か $100$ 万円かのどちらかである。

観察 2.4　だから期待損失だけを集めると、$1$ パーセントの場合に破綻する。手元に $10000$ 円しかないところへ $100$ 万円の請求、足りない。

3. 上乗せは $23.1469$ 倍から $0.0231$ 倍へ

計算 3.1：加入者数に対する上乗せ（本稿で計算・破綻確率 $1$ パーセント）。

観察 3.2　これが本稿の芯である。一件だけなら、上乗せは期待損失の $23.1469$ 倍いる。保険料が $10000$ 円ではなく $241469$ 円になる。誰も買わない。

観察 3.3　$100$ 万人なら $0.0231$ 倍である。保険料は $10231$ 円、期待損失に $2.3$ パーセント足すだけで済む。

観察 3.4　期待損失は一円も変わっていない。どの行でも $10000$ 円、変えたのは加入者の数だけである。

観察 3.5　$n$ を $100$ 倍にすると上乗せがちょうど $0.1$ 倍になる。$1/\sqrt{100}=0.1$、近似ではない。大数の法則が $1/\sqrt{n}$ の形で出ている。

観察 3.6　逆算もできる。上乗せを期待損失の $5$ パーセントに抑えるには $\mathbf{214311}$ 人、戻すとちょうど $5$ パーセントになる。式が閉じている。

4. 保険業は、確率を当てる仕事ではない

観察 4.1　確率 $p$ を完璧に知っていても、一件では成立しない。$23.1469$ 倍、推定精度の問題ではなく、ばらつきそのものの問題である。

観察 4.2　逆に、$p$ の推定が多少ずれていても、$n$ が大きければ成立する。上乗せに余裕があるから、$n$ が数を作っている。

観察 4.3　だから保険業の中核は集めることである。危険を分けられる相手を増やす。「確率を当てる」よりも「独立な相手を集める」ほうが効く。

観察 4.4　独立でなければ、この計算は成り立たない。地震や感染では、全員が同時に請求する。$\sqrt{n}$ の恩恵が消える。本稿はその場合を計算していない。

観察 4.5　論文300 の基準で別根である。期待損失は確率と損害額が、上乗せは分散と人数が決める。どちらも「保険料」に入るが、根が違う。

5. 分離子：何人で分けたか

観察 5.1　分離子、危険を何人で分けたかであって、確率の推定精度ではない。

観察 5.2　左の列は三行とも同じである。期待損失 $10000$ 円、同じ危険、同じ確率、同じ損害額。それでも成立するかどうかが分かれる。

観察 5.3　分離子は動かせる。再保険に出せば、実効的な $n$ が増える。自分で集められなければ、他人の束に混ぜてもらう。

観察 5.4　動かせない場合もある。相関する危険は $n$ を増やしても分散が縮まない。だから巨大災害は保険になりにくい。

観察 5.5　正直に言えば、$23.1469$ 倍も $214311$ 人も、$p=0.01$・$L=10^6$・独立・正規近似という明示した仮定の上での値である。別の条件なら別の数が出る。動かないのは、上乗せが $1/\sqrt{n}$ で縮むという構造だけである。

観察 5.6　最後に一つ、期待値だけを見ると、成立しない事業が成立して見える。期待損失は三行とも同じ $10000$ 円である。平均は、その平均がどれだけ信用できるかを語らない。分散を見ないかぎり、事業が成り立つかは分からない。

6. 点呼と結び

1. 期待損失は $10000$ 円（計算 2.1）：$p=0.01$・$L=10^6$。
2. 標準偏差は $99498.74$ 円（計算 2.1）：期待損失の $9.9499$ 倍。
3. 実際に $10000$ 円出ることは無い（観察 2.3）：$0$ か $100$ 万か。
4. $n=1$ で上乗せ $23.1469$ 倍（計算 3.1）：保険料 $241469$ 円。
5. $n=10^6$ で $0.0231$ 倍（計算 3.1）：保険料 $10231$ 円。
6. 期待損失は一円も変わらない（観察 3.4）：どの行でも $10000$ 円。
7. $n$ を $100$ 倍で上乗せ $0.1$ 倍（観察 3.5）：$1/\sqrt{n}$。
8. $5$ パーセントには $214311$ 人（観察 3.6）：逆算が閉じている。
9. $p$ を完璧に知っても $n=1$ では無理（観察 4.1）：精度の問題ではない。
10. 相関すると $\sqrt{n}$ の恩恵が消える（観察 4.4）：巨大災害。

結び：保険料は「事故の確率かける損害額」で決まると考えたくなる。だがそれだけでは、事業が成立しない。期待損失は $\mathbf{10000}$ 円だが、一件あたりの標準偏差は $\mathbf{99498.74}$ 円ある。期待値の $\mathbf{9.9499}$ 倍。$99$ パーセントの場合に $0$ 円、$1$ パーセントの場合に $100$ 万円なのだから、実際に $10000$ 円の損害が出ることは一度も無い。期待損失だけを集めれば、$1$ パーセントの場合に破綻する。だから上乗せが要る（そしてその大きさを決めているのは、加入者の数である）破綻確率 $1$ パーセントに抑えるとして、$n=1$ なら上乗せは期待損失の $\mathbf{23.1469}$ 倍、保険料は $10000$ 円ではなく $241469$ 円になる。誰も買わない。$n=10^6$ なら $\mathbf{0.0231}$ 倍、保険料 $10231$ 円で済む。期待損失は一円も変わっていない。どの行でも $10000$ 円で、変えたのは加入者の数だけである。$n$ を $100$ 倍にすると上乗せはちょうど $0.1$ 倍になり、大数の法則が $1/\sqrt{n}$ の形でそのまま出ている。逆算すれば、上乗せを $5$ パーセントに抑えるのに $\mathbf{214311}$ 人である。つまり保険業は、確率を当てる仕事ではない。確率 $p$ を完璧に知っていても、一件では $23.1469$ 倍が要る。推定精度の問題ではなく、ばらつきそのものの問題である。逆に $p$ の推定が多少ずれていても、$n$ が大きければ成立する。中核は「確率を当てる」ことよりも「独立な相手を集める」ことにある。分けているものは一つ、危険を何人で分けたかであって、確率の推定精度ではない。三行とも同じ危険・同じ確率・同じ損害額で、期待損失は $10000$ 円のまま、成立するかどうかだけが分かれる。再保険に出せば実効的な $n$ を増やせるが、相関する危険では $n$ を増やしても分散が縮まない。だから巨大災害は保険になりにくい。正直に言えば、$23.1469$ 倍も $214311$ 人も、$p=0.01$・$L=10^6$・独立・正規近似という明示した仮定の上での値である。動かないのは、上乗せが $1/\sqrt{n}$ で縮むという構造だけである。最後に一つ、期待値だけを見ると、成立しない事業が成立して見える。期待損失は三行とも同じ $10000$ 円である。平均は、その平均がどれだけ信用できるかを語らない。分散を見ないかぎり、事業が成り立つかは分からない。

参考文献

1. Lundberg, F. (1903). Approximerad framställning av sannolikhetsfunktionen. Uppsala: Almqvist & Wiksell.
2. Cramér, H. (1930). On the Mathematical Theory of Risk. Stockholm: Skandia.
3. Bühlmann, H. (1970). Mathematical Methods in Risk Theory. Berlin: Springer.
4. Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G. E. (2012). Loss Models: From Data to Decisions (4th ed.). Hoboken: Wiley.
5. Borch, K. (1962). Equilibrium in a Reinsurance Market. Econometrica.
6. 山岸勇輝 (2026). 『第三百回の点呼、同根か別根かは判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
7. 山岸勇輝 (2026). 『選別だけで平均は 1.52 標準偏差上がり、ばらつきは 0.45 に縮む』[論文364]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22697530
8. 山岸勇輝 (2026). 『感度をどこかで下げると、どこかで必ず上がる』[論文367]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22697709
9. 山岸勇輝 (2026). 『原因が何も無くても、下位は 1.76 標準偏差上がり、上位は 1.76 下がる』[論文371]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22698226

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「保険料は期待損失ではない」［論文383］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22699062

@misc{yamagishi2026yoi383,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Premium Is Not the Expected Loss --- And What Sets the Loading Is Not the Accuracy of the Probability but the Number of Policies},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/383},
  doi = {10.5281/zenodo.22699062},
  note = {Preprint, edition 1}
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