【論文527】地球の半径を 4/3 倍にするのは事実ではなく規約であり、しかも規約は二つある

要旨

電波の見通しを計算するとき、地球の半径を $4/3$ 倍にしてから直線を引く。本稿が示すのは、この $4/3$ が測った値ではなく規約であり、しかも光学と電波で規約が二つあって、同じ大気に対して $\mathbf{1.077033}$ 倍違う距離を返すことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、標準大気の勾配から出る係数は $4/3$ ではない。毎キロメートル $39$ $N$ 単位から出るのは $\mathbf{1.330617}$ で、$4/3=\mathbf{1.333333}$ とは $\mathbf{0.2041}$ パーセント違う（第2節）。

第二に、厳密に $4/3$ にするには、勾配のほうを決め打つしかない。逆算すると $\mathbf{3.924031\times10^{-8}}$ 毎メートル、すなわち毎キロメートル $\mathbf{39.2403}$ $N$ 単位である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。同じ大気に対して規約が二つある。光学は屈折係数 $0.13$ から $k=\mathbf{1.1494253}$、電波は $k=4/3$ を使い、見通し距離の伸びは $\mathbf{1.072113}$ 倍と $\mathbf{1.154701}$ 倍になる（第3節）。

第四に、二つの規約は $\mathbf{1.077033}$ 倍ずれる。高さ $10$ メートルなら、屈折なしで $\mathbf{11288.0}$ メートル、光学で $\mathbf{12102.1}$ メートル、電波で $\mathbf{13034.3}$ メートルである（第3節）。

第五に、この操作は角を保つ、対数の写像で交角の変化は $\mathbf{3.00\times10^{-7}}$ ラジアンにとどまるのに、長さの比は $\mathbf{0.447214}$ になる。等角だが等長ではない（第4節）。

第六に、分離子は「どの規約を採ったか」である。屈折が違うのではなく、屈折を半径に畳む約束が違う（第5節）。

キーワード：等価地球半径、4/3 地球半径、電波の屈折、地上屈折係数、見通し距離。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。等価地球半径も、地上屈折係数も、平面地球変換も標準的である。大気の模型を新しく作らない。標準大気の勾配を一つ置いて計算するだけで、実際の大気の変動は扱わない。どちらの規約が正しいかを判定しない。光学と電波で値が違うのは波長が違うからで、どちらかが誤りなのではない。ダクトを扱わない。勾配が強くて $k$ が負になる場合（電波が地表に捕まる場合）は本稿の枠の外である。回折を扱わない。見通しの先へ電波が回り込む分は主題ではない。幾何の見通しだけを見る。測量の実務を述べない。屈折係数をどう現場で決めるかには立ち入らない。既刊との関係：論文349 は蜃気楼に要るのが気温の上がる勾配だと示した。あちらは勾配そのものを見た。本稿はその勾配を半径に畳む操作を見る。論文404 は水平線が見える距離の限界ではないと示した。本稿はその限界がどの規約でいくらになるかを数で出す。論文395 は音が遠くまで届くのは直進しないからだと示した。音線と電波の線は同じ屈折の幾何で、畳み方も同じである。論文95 は規約と事実を分けた。$4/3$ はその意味で規約であり、標準大気から出る $1.330617$ が事実の側である。論文409 は歪まない地図が存在しないと示した。本稿の変換も等角であって等長ではなく、同じ選択が現れる。加えたのは、標準大気から係数を組み立てて $1.330617$ を出したこと、$4/3$ を厳密にする勾配を逆算したこと、光学と電波の規約を並べて距離の比 $1.077033$ を出したこと、高さ $10$ メートルの見通しを三通りで出したこと、変換が等角で等長でないことを数値で確かめたことである。

1. 記法と問い

設定：大気の屈折率は高さとともに下がるので、光も電波も下向きに曲がる。曲がる線を扱うかわりに、地球の半径を $k$ 倍して線を直線にするのが等価地球半径の方法である。

$$k=\frac{1}{1+a\,\dfrac{dn}{dh}}$$

ここで $a$ は地球の半径、$dn/dh$ は屈折率の高さ勾配である。

観察 1.1　$k$ は測る量ではなく、勾配から作る量である。勾配が動けば $k$ も動く。「$k=4/3$」は、ある勾配を選んだという宣言である。

観察 1.2　光学と電波で勾配が違う。電波は水蒸気の寄与を強く受け、可視光はほとんど受けない。同じ大気でも屈折の量が違う。だから規約も二つになる。

問い：$4/3$ はどちらなのか。事実か、規約か。

2. $4/3$ は標準大気から出ない

計算 2.1：標準大気でよく使われる勾配、毎キロメートル $39$ $N$ 単位（$3.9\times10^{-8}$ 毎メートル）から $k$ を出す。

観察 2.2　$4/3$ は丸めた数である。標準大気から出るのは $\mathbf{1.330617}$、$4/3$ を使うということは、勾配のほうを毎キロメートル $\mathbf{39.2403}$ $N$ 単位に決め打つことに等しい。

観察 2.3　逆算が検査になっている。出した勾配を式に戻すと $k$ が $4/3$ に戻る（$10^{-9}$ 以内）、解き損ないではないことを別に確かめた。

観察 2.4　ずれは小さいが零ではない。$\mathbf{0.2041}$ パーセント、実務では無視できる大きさである。だからこそ規約として定着した。しかし「大気がそうなっている」のではない。

観察 2.5　論文95 の言い方でいえば、これは規約の側である。事実の側にあるのは勾配で、$4/3$ は勾配を丸めて作った約束である。規約は便利であってよいが、事実として引用してはならない。

3. 規約が二つある

計算 3.1：光学の地上屈折係数 $0.13$ と、電波の $k=4/3$ を並べる。見通し距離は $\sqrt{k}$ に比例する。

観察 3.2　これが本稿の芯である。二つの規約の距離の比は $\mathbf{1.077033}$、同じ地点、同じ大気について、光学の教科書と電波の教科書が $\mathbf{7.7}$ パーセント違う見通し距離を返す。

観察 3.3　$\mathbf{1.154701}$ は厳密な数である。$\sqrt{4/3}$ そのもの、規約を採った瞬間に、伸びの値も規約になる。

計算 3.4：高さ $10$ メートルの目からの見通し距離を三通りで出す。

観察 3.5　差は $1.7$ キロメートルある。光学と電波で $\mathbf{932.2}$ メートル、屈折なしと電波の差は $\mathbf{1746.3}$ メートルで、目に見える大きさである。

観察 3.6　論文404 の続きである。あちらは水平線が見える距離の限界ではないと示した。本稿はその限界がどの規約でいくらになるかを出した。限界そのものが規約に依っている。

4. 畳む操作は角を保つ

計算 4.1：屈折率の勾配を曲率に押し込む操作は、半径方向に対数を取る写像に対応する。この写像で交角がどれだけ変わるかを数値で測った。

観察 4.2　角は保たれ、長さは保たれない。差 $\mathbf{3.00\times10^{-7}}$ ラジアンに対し、長さは $\mathbf{0.447214}$ 倍、等角写像であって、等長写像ではない。

観察 4.3　だからこの方法は角の問題に使えて、長さの問題には注意が要る。仰角や入射角はそのまま読める。距離は $\sqrt{k}$ の分だけ読み替えなければならない。

観察 4.4　論文409 と同じ選択である。あちらは歪まない地図が存在しないと示した。等角を取るか等長を取るかという同じ二択が、ここでも現れる。等価地球半径は等角のほうを取った。

5. 分離子

観察 5.1　分離子は、どの規約を採ったかである。屈折そのものが違うのではない。屈折を半径に畳む約束が違い、その違いが距離の $\mathbf{1.077033}$ 倍として出る。

観察 5.2　見分ける方法がある。規約なら、変えても物理の予測が変わらないように別の量が付いてくる。$k$ を変えれば見通し距離が変わるが、それは同じ大気の記述を別の座標で書いているのではなく、別の勾配を仮定していることになる。ここでは規約と仮定が結び付いている。

観察 5.3　そこが $4/3$ の厄介なところである。規約として便利なので、勾配についての仮定であることが見えにくい。$\mathbf{0.2041}$ パーセントの丸めが、そのまま「大気はこうである」と読まれてしまう。

観察 5.4　論文349 とは向きが逆である。あちらは勾配の符号が逆になる場合（気温が上がる場合）を見た。本稿は勾配が標準のときに、それをどう畳むかを見た。同じ勾配についての二つの扱い方である。

観察 5.5　言わないこと。ダクトも回折も扱わない。勾配が強くて $k$ が負になる場合は枠の外であり、見通しの先へ回り込む分も見ていない。

6. 点呼と結び

1. 標準大気から出る $k$ は $\mathbf{1.330617}$（計算 2.1）：$4/3$ ではない。
2. ずれは $\mathbf{0.2041}$ パーセント（計算 2.1）：小さいが零ではない。
3. $4/3$ にする勾配は $\mathbf{3.924031\times10^{-8}}$ 毎メートル（計算 2.1）：逆算。
4. 戻すと $4/3$ に戻る（観察 2.3）：検査。
5. 光学の伸びは $\mathbf{1.072113}$ 倍（計算 3.1）：屈折係数 $0.13$ から。
6. 電波の伸びは $\mathbf{1.154701}$ 倍（計算 3.1）：$\sqrt{4/3}$ そのもの。
7. 二つの規約の比は $\mathbf{1.077033}$（観察 3.2）：本稿の芯。
8. 高さ $10$ メートルで $\mathbf{11288.0}$・$\mathbf{12102.1}$・$\mathbf{13034.3}$ メートル（計算 3.4）：三通り。
9. 交角の差は $\mathbf{3.00\times10^{-7}}$ ラジアン（計算 4.1）：等角である。
10. 長さの比は $\mathbf{0.447214}$（計算 4.1）：等長ではない。
11. 分離子はどの規約か（観察 5.1）：屈折そのものではない。

結び：電波の見通しを計算するとき、地球の半径を $4/3$ 倍にしてから直線を引く。その $4/3$ は測った値ではない。標準大気でよく使われる毎キロメートル $39$ $N$ 単位の勾配から出るのは $\mathbf{1.330617}$ で、$4/3=\mathbf{1.333333}$ とは $\mathbf{0.2041}$ パーセント違う。$4/3$ を使うということは、勾配のほうを毎キロメートル $\mathbf{39.2403}$ $N$ 単位、すなわち $\mathbf{3.924031\times10^{-8}}$ 毎メートルに決め打つことに等しい。逆算した勾配を式に戻すと $k$ は $4/3$ に戻るので、解き損ないではない。ずれが実務で無視できる大きさだからこそ規約として定着したが、「大気がそうなっている」わけではない。論文95 の言い方でいえば、事実の側にあるのは勾配で、$4/3$ は約束である。しかも規約は二つある。光学は地上屈折係数 $0.13$ から $k=\mathbf{1.1494253}$ を使い、電波は $k=4/3$ を使う。見通し距離は $\sqrt{k}$ に比例するので、伸びは $\mathbf{1.072113}$ 倍と $\mathbf{1.154701}$ 倍になる。電波側の $\mathbf{1.154701}$ は $\sqrt{4/3}$ そのもので、規約を採った瞬間に伸びの値も規約になる。二つの比は $\mathbf{1.077033}$ で、同じ地点、同じ大気について、光学の教科書と電波の教科書が $\mathbf{7.7}$ パーセント違う距離を返す。高さ $10$ メートルなら、屈折なしで $\mathbf{11288.0}$ メートル、光学で $\mathbf{12102.1}$ メートル、電波で $\mathbf{13034.3}$ メートル。光学と電波の差は $\mathbf{932.2}$ メートル、屈折なしと電波の差は $\mathbf{1746.3}$ メートルで、目に見える大きさである。畳む操作は角を保ち、長さを保たない。対数の写像で交角の変化は $\mathbf{3.00\times10^{-7}}$ ラジアンにとどまるのに、長さの比は $\mathbf{0.447214}$ になる。だから仰角や入射角はそのまま読めて、距離は $\sqrt{k}$ の分だけ読み替えなければならない。論文409 が示した「等角を取るか等長を取るか」という二択が、ここでも現れている。等価地球半径は等角のほうを取った。分離子は、どの規約を採ったかである。屈折そのものが違うのではなく、屈折を半径に畳む約束が違う。そこが $4/3$ の厄介なところで、規約として便利なので、勾配についての仮定であることが見えにくい。$\mathbf{0.2041}$ パーセントの丸めが、そのまま「大気はこうである」と読まれてしまう。論文349 は勾配の符号が逆になる場合を見た。本稿は標準の勾配をどう畳むかを見たので、同じ勾配についての二つの扱い方である。論文404 が「水平線は見える距離の限界ではない」と示した限界そのものが、どの規約を採るかに依っている。論文395 の音線も同じ屈折の幾何で、畳み方も同じである。正直に言えば、大気の模型を新しく作ってはいない。標準大気の勾配を一つ置いただけで、実際の大気の変動は扱っていない。光学と電波で値が違うのは波長が違うからで、どちらかが誤りなのではないし、どちらが正しいかも判定していない。勾配が強くて $k$ が負になるダクトの場合は枠の外で、見通しの先へ回り込む回折も見ていない。屈折係数を現場でどう決めるかにも立ち入っていない。言えるのは、$4/3$ が丸めた規約であり、同じ大気に規約が二つあって、見通し距離が $\mathbf{1.077033}$ 倍ずれる、そこまでである。

参考文献

1. Bean, B. R., & Dutton, E. J. (1966). Radio Meteorology. National Bureau of Standards Monograph 92.
2. International Telecommunication Union (2019). Recommendation ITU-R P.453: The radio refractive index. ITU.
3. Schelleng, J. C., Burrows, C. R., & Ferrell, E. B. (1933). Ultra-Short-Wave Propagation. Proceedings of the Institute of Radio Engineers.
4. Torge, W., & Muller, J. (2012). Geodesy (4th ed.). De Gruyter.
5. 山岸勇輝 (2026). 『規約と事実を分ける』[論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
6. 山岸勇輝 (2026). 『蜃気楼に要るのは、気温が下がる勾配ではなく、上がる勾配である』[論文349]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22695287
7. 山岸勇輝 (2026). 『音が遠くまで届くのは、直進しないからである』[論文395]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699289
8. 山岸勇輝 (2026). 『水平線は、見える距離の限界ではない』[論文404]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699418
9. 山岸勇輝 (2026). 『歪まない地図は存在しない。投影法が下手だからではない』[論文409]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699616

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「地球の半径を 4/3 倍にするのは事実ではなく規約であり、しかも規約は二つある」［論文527］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22867664

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Multiplying the Earth's Radius by 4/3 Is a Convention, Not a Fact, and There Are Two of Them},
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