Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「不確定性原理」という一語が、測っているものの違う複数の定理を指している。本稿はそれを点呼し、それぞれの住所を書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。$\hbar$ は不等式の数学の側には無い。時間幅と角周波数幅の積についての不等式 $\sigma_t\sigma_\omega\ge\frac12$ は、二乗可積分な関数とそのフーリエ変換についての定理であり、物理定数を一つも含まない。本稿ではガウス関数がこれを等号で満たすこと、しかも幅によらず $\frac12$ になることを記号計算で確認した。$\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$ になるのは、$p=\hbar k$ という物理の同定を一度だけ通したからである。$\frac12$ は数学が出し、$\hbar$ は物理が出す（第2節）。

第二に、その $\frac12$ すら規約を含んでいる。周波数を「一周あたり」で書けば同じ定理が $\sigma_t\sigma_\nu\ge\frac{1}{4\pi}$ になる。ここに現れる $4\pi$ は $2\times2\pi$ であり、$2$ は極値の $\frac12$、$2\pi$ は一周とラジアンの換算である。そして $\frac{h}{4\pi}=\frac{\hbar}{2}$ の $4\pi$ も同じ $2\times2\pi$ である。別根ではない。同じ根である。どちらも立体角ではない。下限は空間次元を変えても動かないからである（第3節）。

第三に、分散版は、分散が発散すれば何も言っていない。コーシー分布の二次モーメントは発散する（本稿で確認）。矩形パルスは時間側の台が有限なのに、周波数側の分散が発散する（本稿で窓を四倍ずつ広げ、推定値が四倍ずつ増えることを確認）。「両方は絞れない」は、分散という物差しについての言明であって、局在そのものについての言明ではない。これは論文106 が定常性と裾の厚さについて置いたブレーキと同じ形である（第4節）。

第四に、離散側には算術の根がある。$\mathbb{Z}/N$ 上では非零成分の個数の積が $N$ 以上になる（ドノホ＝スターク）。これに加法版 $\|f\|_0+\|\hat f\|_0\ge N+1$ が成り立つのは $N$ が素数のときだけである（タオ）。本稿では $N=9,12,16$ の櫛形が積 $=N$ を達成し、和が $N+1$ を大きく下回ることを示し、$N=7,11,13$ では無作為試行の最小値がちょうど $N+1$ になることを確認した。改良を与えているのは解析ではなく、$N$ の素数性である（第5節）。

第五に、八つ並べると、測っているものが全部違う。分散・交換子・減衰の速さ・台の測度・エントロピー・非零成分の個数・素数性・寿命。どれも他を含意しない。とくにエネルギーと時間の関係は、位置と運動量の関係と同じ定理ではない。時間は作用素ではないからである（論文54・127）（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。ケナード（1927）、ワイル（1928）、ロバートソン（1929）、ハーディ（1933）、ハーシュマン（1957）とベックナー（1975）、アムラン＝ベルティエ（1977）とベネディクス（1985）、ドノホ＝スターク（1989）、タオ（2005）、マンデルシュタム＝タム（1945）はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、数学の $\frac12$ と物理の $\hbar$ を分けたこと、二つの $4\pi$ を同じ根と判定したこと、分散版が空虚になる二つの証人を挙げたこと、素数性を根として点呼に入れたことだけである。$4\pi$ に幾何を読み込まない（論文46・94）。

1. 記法と位置づけ

フーリエ変換を $\hat f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int f(t)e^{-i\omega t}dt$ とし、$\|f\|_2=1$ の下で
$$ \sigma_t^2=\int t^2|f(t)|^2dt,
\qquad
\sigma_\omega^2=\int \omega^2|\hat f(\omega)|^2d\omega $$
と書く。$\|f\|_0$ は非零成分の個数を表す。

位置づけ：既存の定理を並べ、その射程を書く。新しい定理は主張しない。論文17 は別根と言うのは半分であり、住所を書いて初めて検査可能になると述べた。本稿は「不確定性原理」という一語について、それを行う。

2. $\hbar$ は、不等式の数学の側には無い

確立された事実 2.1（フーリエの不確定性不等式）：$f\in L^2(\mathbb{R})$、$\|f\|_2=1$ に対し
$$ \sigma_t\,\sigma_\omega\;\ge\;\frac12, \tag{2} $$
等号成立はガウス関数のときに限る。証明はコーシー＝シュワルツの不等式と部分積分による。

観察 2.2 （この文に物理定数は一つも無い）　(2) は二乗可積分な関数とそのフーリエ変換についての言明である。$\hbar$ も $c$ も $G$ も現れない。量子力学が現れる前に、この不等式は成り立っている。

検算 2.3（ガウス関数で等号、しかも幅によらない）：$f(t)=\left(\frac{2a}{\pi}\right)^{1/4}e^{-at^2}$ について、本稿では記号計算により
$$ \|f\|_2^2=1,\qquad \sigma_t^2=\frac{1}{4a},\qquad \sigma_\omega^2=a,\qquad \sigma_t\sigma_\omega=\frac12 $$
を得た。$a$ が消える。すなわち $\frac12$ は幅の選び方にも依らない極値である。（証明終）

観察 2.4 （では $\hbar$ はどこから来るのか）　物理は一つの同定を持ち込む、ド・ブロイとプランクの関係 $p=\hbar k$ である。位置を $t$ の役、波数を $\omega$ の役に置き、$p=\hbar k$ を代入すれば
$$ \sigma_x\,\sigma_p\;=\;\hbar\,\sigma_x\,\sigma_k\;\ge\;\frac{\hbar}{2} $$
となる。$\frac12$ は数学が出し、$\hbar$ は物理が出す。「量子」であるのは、この一度の代入だけである。

観察 2.5 （等号の身分）　(2) は恒等式ではなく不等式であり、その $\frac12$ は極値問題の値である。論文16 は等号が六つの根を持つと述べた。ここでの $\ge$ は「経験則」ではなく「定理の帰結」であり、$\frac12$ は「規約」ではなく「極値」である。

3. 二つの $4\pi$ は、同じ根である

観察 3.1 （周波数の書き方を変える）　角周波数 $\omega$ ではなく「一周あたり」の周波数 $\nu=\omega/2\pi$ で書けば、(2) はそのまま
$$ \sigma_t\,\sigma_\nu\;\ge\;\frac{1}{4\pi} $$
になる（本稿で確認）。定理は一つ、書き方が二つである。

観察 3.2 （二つの $4\pi$ の内訳）　

そして $\hbar=h/2\pi$ の $2\pi$ と、$\omega=2\pi\nu$ の $2\pi$ は同じものである。どちらも一周あたりとラジアンあたりの換算である。ゆえに二つの $4\pi$ は別根ではない。同じ根である。

観察 3.3 （どちらも立体角ではない）　反例は次元非依存性である。$\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}$ は空間次元を変えても各成分について同じ形で成り立つ。一次元の直線上の粒子にも同じ下限がかかるが、そこに球面は無い。立体角であれば下限は次元とともに動くはずである。動かない。

これは論文46 が置いた形と同じである。フーリエ変換の規約を変えれば $4\pi$ は $4$ にも $1/\pi^2$ にもなる。規約が動かせる数に、幾何を読み込んではならない。

4. 分散が発散すれば、分散版は何も言っていない

観察 4.1 （不等式が空虚になる場合がある）　(2) は $\sigma_t$ と $\sigma_\omega$ がどちらも有限であることを前提に意味を持つ。片方が発散すれば、左辺は数ではなくなる。

検算 4.2（証人その一・コーシー分布）：$\frac{1}{\pi(1+x^2)}$ は確率密度である（本稿で積分 $=1$ を確認）が、二次モーメントは発散する（本稿で $\infty$ を確認）。裾が厚い分布に対して、分散版の不等式は何も述べていない。

検算 4.3（証人その二・矩形パルス）：時間側の台が $[-\frac12,\frac12]$ の矩形パルスのフーリエ変換は $\mathrm{sinc}$ であり、$|\hat f|^2$ は $\omega^{-2}$ でしか減衰しないから $\int\omega^2|\hat f|^2d\omega$ は発散する。本稿では窓幅を四倍ずつ広げ、推定値が
$$ 1137\;\to\;4541\;\to\;18172 $$
とほぼ四倍ずつ増えることを確認した。台は有限、分散は無限である。

観察 4.4 （何が言えて、何が言えないか）　「時間にも周波数にも同時に局在することはできない」という文は、そのままでは定理ではない。定理になるのはどの物差しで「局在」を測るかを決めてからである。分散で測るならケナード、台の測度で測るならベネディクス、減衰の速さで測るならハーディ、別の定理である。

これは論文106 と同じ形である。ウィーナー・フィルタは定常性を前提とし、裾の厚い過程では前提が落ちる。分散を使う道具は、分散が有る世界でしか使えない。

5. 離散側には、算術の根がある

確立された事実 5.1（ドノホ＝スターク 1989）：$\mathbb{Z}/N$ 上の $f\neq0$ に対し
$$ \|f\|_0\cdot\|\hat f\|_0\;\ge\;N . $$

確立された事実 5.2（タオ 2005）：$N$ が素数のとき、さらに
$$ \|f\|_0+\|\hat f\|_0\;\ge\;N+1 . $$

検算 5.3（合成数では加法版は成り立たない）：本稿では等間隔の櫛形（ピケットフェンス）を作り、次を得た。

積はちょうど $N$ を達成し、和は $N+1$ を大きく下回る。すなわち合成数では加法版は偽である。

検算 5.4（素数では成り立つ）：$N=7,11,13$ について、台の大きさを無作為に選んだ $4000$ 通りの試行で、$\|f\|_0+\|\hat f\|_0$ の最小値はそれぞれ $8$、$12$、$14$、すなわちちょうど $N+1$ であった。（証明終）

観察 5.5 （根の型が違う）　改良を与えているのは解析ではない。櫛形が作れるのは$N$ が真の約数を持つからであり、素数はそれを禁じる。解析の定理の中に、算術の条件が入っている。論文86 は必然の根を四つ（位相・対称性・代数・次元）挙げた。ここに現れているのはそのどれでもない。整数の分解可能性である。

6. 八つ並べると、測っているものが全部違う

観察 6.1 （点呼）　

観察 6.2 （どれも他を含意しない）　分散が無限でも台は有限でありうる（矩形パルス）。台が無限でも分散は有限でありうる（ガウス関数）。二つの物差しは、互いに反例を持ち合っている。

検算 6.3（エントロピー版は別の極値を持つ）：本稿では幅 $s=0.3,1.0,3.0$ のガウス関数について $h(|f|^2)+h(|\hat f|^2)$ を数値計算し、いずれも $0.306853$、すなわち $\log\frac{e}{2}$ を得た。別の汎関数、別の極値、別の定理である。

観察 6.4 （エネルギーと時間は、同じ定理ではない）　$\Delta E\,\Delta t\ge\frac{\hbar}{2}$ は、位置と運動量の関係と同じ形の定理ではない。ロバートソンの不等式は二つの自己共役作用素についての言明であり、時間はそのような作用素ではない（論文54・127）。マンデルシュタム＝タムの関係が与えるのは、ある観測量が変化するのに要する時間の尺度であって、時間の分散ではない。同じ記号 $\Delta t$ が、別の量の名として使われている（論文118 の論理型の議論と同型）。

7. ではフーリエは、何を言っていたのか

観察 7.1 （線形の波についての言明である）　(2) は波であれば従う。音でも、水面の波でも、株価の時系列でも同じである。短いパルスは広い帯域を占める。これは工学が毎日使っている事実であり、量子力学とは関係がない。

観察 7.2 （量子力学が加えたもの）　加わったのは二つである。(i) 粒子が波として記述されること、(ii) $p=\hbar k$ という同定。不確定性の「原理」らしさは、この二つが持ち込んだものであって、不等式そのものが持ち込んだものではない。

観察 7.3 （それでも残る驚き）　残るのは $\hbar$ が有限であることである。$\hbar\to0$ を想像すれば下限は消える。下限があるのは数学のせいだが、下限が「効く」のは $\hbar$ が有限だからである。数学は形を与え、物理は目盛りを与える。

8. 結論

1. $\hbar$ は不等式の数学の側には無い（観察2.2）。$\sigma_t\sigma_\omega\ge\frac12$ は物理定数を含まない。ガウス関数が幅によらず等号を与える（検算2.3）。$\frac12$ は数学、$\hbar$ は物理。
2. 二つの $4\pi$ は同じ根である（観察3.2）。$\sigma_t\sigma_\nu\ge\frac{1}{4\pi}$ の $4\pi$ も $\frac{h}{4\pi}$ の $4\pi$ も$2\times2\pi$であり、$2\pi$ はどちらも一周とラジアンの換算である。どちらも立体角ではない。次元非依存性が反例（観察3.3）。
3. 分散が発散すれば、分散版は空虚である（第4節）。証人はコーシー分布（二次モーメント $=\infty$）と矩形パルス（台は有限、分散は無限・窓を四倍ずつ広げて確認）。「局在できない」は物差しを決めて初めて定理になる。
4. 離散側には算術の根がある（第5節）。$N$ が合成数なら櫛形が積 $=N$ を達成し和は $N+1$ を大きく下回る（$N=9,12,16$）。$N$ が素数なら最小の和はちょうど $N+1$（$N=7,11,13$、各 $4000$ 試行）。効いているのは整数の分解可能性である。
5. 八つは互いに他を含意しない（観察6.1）。二つの物差しは互いに反例を持ち合っている（観察6.2）。エントロピー版は別の極値 $\log\frac{e}{2}$ を持つ（検算6.3）。
6. エネルギーと時間は、同じ定理ではない（観察6.4）。時間は自己共役作用素ではない（論文54・127）。同じ記号 $\Delta t$ が別の量を指している（論文118）。

結び：数学は形を与え、物理は目盛りを与える。$\frac12$ はフーリエ変換の極値であり、$\hbar$ は一度の代入で入ってくる。「不確定性原理」と呼ばれているものは一つの定理ではなく、測るものを変えるたびに別の定理になる家族である。どの物差しで測っているかを言わないうちは、まだ何も述べていない。

参考文献

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13. 山岸勇輝 (2026). 等号は六つの別根を持つ [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
14. 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
15. 山岸勇輝 (2026). 幾何なのは $\Omega_3$ だけである [論文46]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21602422
16. 山岸勇輝 (2026). 山岸・時間作用素と時計部分系の理論 [論文54] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21603325
17. 山岸勇輝 (2026). 必然の根 [論文86]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21744839
18. 山岸勇輝 (2026). フラクタル次元 [論文94]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758581
19. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実 [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
20. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
21. 山岸勇輝 (2026). 形を聴く [論文102]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21836735
22. 山岸勇輝 (2026). ウィーナー・フィルタ [論文106]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21836984
23. 山岸勇輝 (2026). 尺度不変性は四つの根を持つ [論文117]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22005515
24. 山岸勇輝 (2026). 二つの時計、一つの尺度 [論文118]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22036237
25. 山岸勇輝 (2026). 集約の三つの別根 [論文124]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22057728
26. 山岸勇輝 (2026). 同じ「正準交換関係」が、三つの別の状況を指している [論文127]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079508
27. 山岸勇輝 (2026). $4\pi=2\pi\chi$ が成り立つのは、三次元だけである [論文128]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079576

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「ℏ は、不等式の数学の側には無い」［論文129］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22079681

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
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