Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

論文88 は「エントロピー」という一語のもとに二つの別物（粗視化のものと地平線の面積のもの）があると書いた。本稿は第三の住所を加える：フォン・ノイマンのエントロピー $S(\rho)=-\mathrm{Tr}(\rho\ln\rho)$ である。新しい物理法則は主張しない。

第一に、これはシャノンを「量子化」したものではない。量子状態には一つの確率分布が付いていない。測定基底ごとに違う分布が出る。固有基底で測ったときのシャノン量が $S(\rho)$ に機械精度で一致し（四例とも差 $0$）、無作為な基底は上からしか近づかない（第2節）。

第二に、ユニタリ発展では一切変わらない。$4000$ 組の無作為な状態とユニタリで最大変化は $2.33\times10^{-15}$。閉じた量子系では、これは時間の矢になりえない（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。全体のほうが部分より小さいことがある。一重項では$S(AB)=0$ なのに $S(A)=S(B)=\ln2=0.6931471806$。古典では起こりえない。$2\times2$ の同時分布を $200000$ 個引いても $H(AB)-\max(H(A),H(B))$ は一度も負にならなかった（最小 $0.007226$）（第4節）。

第四に、したがって条件付きエントロピーが負になる。一重項で$S(A|B)=-\ln2$。同じ $200000$ 個の古典分布では最小でも $0.009555$、符号の約束すら共有していない（第5節）。

第五に、代わりに何が残るか。劣加法性と荒木＝リーブの三角不等式は $20000$ 個の無作為な状態で破れゼロであり、一重項はその境界にちょうど乗っている（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい物理法則は主張しない。フォン・ノイマンのエントロピー、劣加法性、荒木＝リーブの三角不等式、条件付きエントロピーの負値はいずれも標準的である。また論文88 の内容を撤回しない。二つのエントロピーの分離はそのままで、三つ目を足すだけである。加えたのは固有基底のシャノン量が $S(\rho)$ に一致することを測ったこと、ユニタリ不変性を数で確かめたこと、古典側の不等式が破れないことを $200000$ 個の標本で確認して量子側の $-\ln2$ と対置したこと、三つのエントロピーに「動かすと動くもの」を書いたことである。

1. 記法と位置づけ

密度行列 $\rho$ に対し $S(\rho)=-\mathrm{Tr}(\rho\ln\rho)$ とする（自然対数）。二体系では $S(AB)$、$S(A)=S(\mathrm{Tr}_B\rho)$ と書き、条件付きエントロピーを $S(A|B)=S(AB)-S(B)$ で定める。

位置づけ：論文88 は粗視化エントロピーと地平線の面積エントロピーを分離し、両者を結ぶのはホログラフィック上限だけだと書いた。論文77・78 は時間の矢が粗視化に宿ることを、論文138 はユニタリと散逸の分解が非一意であることを扱った。本稿はその三つの上に、第三のエントロピーを置く。

2. シャノンを「量子化」したものではない

観察 2.1　シャノンのエントロピーには確率分布が要る。ところが量子状態には、分布が一つ付いてはいない。どの基底で測るかによって、違う分布が出る。

検算 2.2：無作為な一量子ビットの混合状態について、$20000$ 通りの基底で測った場合のシャノン量を集める。

固有基底での値と $S(\rho)$ の差は四例とも $0$であった。（証明終）

観察 2.3　$S(\rho)$ は「測ったときのシャノン量の最小値」である。どの基底で測っても、状態が実際に持っている以上の乱雑さが報告される。最小を与えるのは固有基底だけである。

観察 2.4　したがって出発点が違う。シャノンは分布を渡されて数を返し、フォン・ノイマンは状態を渡されて分布そのものを自分で選ぶ。同じ式の形をしていても、入力が違う。

3. ユニタリ発展では一切変わらない

検算 3.1：$4$ 次元の無作為な密度行列と無作為なユニタリを $4000$ 組取り、$|S(U\rho U^\dagger)-S(\rho)|$ の最大を測る。

（証明終）

観察 3.2　閉じた量子系では厳密に保存される。ゆえにフォン・ノイマンのエントロピーは、それ自体では時間の矢になりえない。矢が要るのは非ユニタリな操作、すなわち部分トレース・測定・粗視化のほうである（論文77・78・88）。

4. 芯：全体のほうが部分より小さいことがある

検算 4.1：一重項状態について

（証明終）

検算 4.2：古典側で同じことが起きるかを見る。$2\times2$ の同時分布を $200000$ 個無作為に引き、$H(AB)-\max(H(A),H(B))$ の最小を測る。

（証明終）

観察 4.3　古典では、全体を知ることは部分を知ることを含む。量子ではそうならない。二つを合わせた系については完全に知っていて、片方だけを見ると何も知らない、という状態が存在する。

観察 4.4　これは「量子のほうが乱雑だ」という話ではない。$S(AB)=0$ は乱雑さが皆無だということである。情報が部分にではなく相関の側に置かれている、というだけである。

5. 条件付きエントロピーが負になる

検算 5.1

（証明終）

観察 5.2　古典の条件付きエントロピーは下から $0$ で抑えられ、量子のそれは $-\ln2$ に届く。二つは符号の約束すら共有していない。同じ記号で書かれ、同じ名前で呼ばれているが、値域が違う。

観察 5.3　「負のエントロピー」は言葉の綾ではなく、操作的な意味を持つ（量子状態併合における「将来使える資源」として読める）。ただし本稿はその解釈には立ち入らない。書けるのは、値が負になるという事実と、その住所までである。

6. 代わりに何が残るか

検算 6.1：無作為な二量子ビット状態を $20000$ 個（階数も無作為に）取り、二つの不等式の破れを数える。

一重項では $S(A)+S(B)=1.386294$ に対し $S(AB)=0$、$|S(A)-S(B)|=0$ に対し $S(AB)=0$ である。（証明終）

観察 6.2　古典の不等式は弱められたのではなく、別の不等式に置き換わっている。$H(AB)\ge\max(H(A),H(B))$ の場所に座っているのは荒木＝リーブの三角不等式であり、一重項はその境界にちょうど乗っている。

7. 点呼：三つのエントロピー

観察 7.1　

観察 7.2　一語の下に三つの量がある。一つ目は観測者に、二つ目は境界に、そして三つ目は状態そのものに住んでいる。三つのうち、時間の経過で変わらないのは三つ目だけである。

観察 7.3　絡み合いエントロピーが場の理論で面積則を示すことは知られており、三つ目と二つ目のあいだに韻がある。だが本稿はそれを同根とは書かない。片方は部分系の選び方で決まり、他方は幾何が決める。論文88 が「結ぶのは上限だけ」と書いた線を、ここでも越えない。

8. 結論

1. 固有基底のシャノン量が $S(\rho)$ に一致する（検算2.2）。四例とも差 $0$。
2. ユニタリでは変わらない（検算3.1）。最大 $2.33\times10^{-15}$。
3. 一重項で $S(AB)=0$、$S(A)=\ln2$（検算4.1）。全体のほうが小さい。
4. 古典では $200000$ 個引いても一度も起きない（検算4.2）。最小 $0.007226$。
5. 条件付きエントロピーは $-\ln2$ に届く（検算5.1）。古典は最小 $0.009555$。
6. 劣加法性と荒木＝リーブは破れゼロ（検算6.1）。一重項は境界の上。

結び：全体について完全に知っていながら、部分については何も知らない。そういう状態がある。古典の言葉では、この文は矛盾している。矛盾していないのは、情報が部分にではなく、部分と部分のあいだに置かれているからである。

参考文献

1. von Neumann, J. (1927). Thermodynamik quantenmechanischer Gesamtheiten. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.
2. Shannon, C. E. (1948). A mathematical theory of communication. Bell System Technical Journal, 27.
3. Araki, H., & Lieb, E. H. (1970). Entropy inequalities. Communications in Mathematical Physics, 18(2).
4. Lieb, E. H., & Ruskai, M. B. (1973). Proof of the strong subadditivity of quantum-mechanical entropy. Journal of Mathematical Physics, 14(12).
5. Horodecki, M., Oppenheim, J., & Winter, A. (2005). Partial quantum information. Nature, 436.
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7. 山岸勇輝 (2026). ボルン則の「2」と Gleason の定理 [論文71]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21650577
8. 山岸勇輝 (2026). リューヴィルの定理と時間の矢 [論文77]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21722473
9. 山岸勇輝 (2026). 摩擦と散逸は粗視化である [論文78]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21731937
10. 山岸勇輝 (2026). 二つのエントロピーを混同しない [論文88]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21747809
11. 山岸勇輝 (2026). どこまでがハミルトニアンかは、規約である [論文138]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081512
12. 山岸勇輝 (2026). 一つの不等式に、三つの天井がある [論文160]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092434
13. 山岸勇輝 (2026). 「不動点」は一つの定理ではない [論文161]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092530

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「全体のほうが、部分より知られていないことがある」［論文162］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22092568

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
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