YOI 1002：三体の慣性モーメントは 4 次元でだけ放物線を描き、回る正三角形はそこでエネルギー 0 になる

論文1002 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1002 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823542）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1002,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Three-Body Moment of Inertia Is a Parabola Only in Four Dimensions, Where the Spinning Triangle Has Zero Energy},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1002},
  doi = {10.5281/zenodo.22823542},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

N 体の慣性モーメント I＝Σm|x|² の時間の二階微分 Ï は、運動エネルギーと位置エネルギーで書ける（ラグランジュ＝ヤコビの恒等式）。本稿は、場が広がる面が 3 次元で 4πr²、4 次元で 2π²r³ になるために力が r の D−1 乗に反比例する D 次元の重力で、この恒等式と三体の運動を数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、Ï＝4E＋2(D−4)V で、4 次元でだけ位置エネルギーの項が消える。力の関数から作った Ï と、位置エネルギーの関数から作った 4E＋2(D−4)V は、D＝3・4・5 の乱数の状態 20 個ずつで、相対差 $8.882$×10⁻¹⁶ 以内で一致した（第2節）。

第二に、回る正三角形のエネルギーは、4 次元で符号を変える。等しい質量の三つを辺 1 の正三角形に置いて回すと、エネルギーは 3(D−4)/(2(D−2)) で、3 次元で $\mathbf{-1.500000}$、4 次元で $0$、5 次元で $\mathbf{0.500000}$、8 次元で $\mathbf{1.000000}$ だった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。4 次元の三体の慣性モーメントは、時間の放物線そのものをたどる。回る正三角形の速さを $0.99$ 倍にするとエネルギーは $\mathbf{-0.029850}$ で、I が最初の $1$ パーセントに落ちる時刻は $\mathbf{4.072212491}$ と、放物線の予言と全桁で一致した。積分は放物線の根 $\mathbf{4.092728}$ の手前 $\mathbf{4.092370}$ で止まり、そこでの I も放物線と $\mathbf{1.748861}$×10⁻⁴ で一致した（第4節）。

第四に、負のエネルギーの三体は、放物線の根より前に衝突で止まる。4 次元の乱数の三体五例は、I が放物線から相対差 $1.362$×10⁻¹² 以内のまま、根の $\mathbf{0.162020}$ 倍から $\mathbf{0.853067}$ 倍の時刻で、二体の距離が 10⁻³ まで縮んだ（第5節）。

第五に、3 次元の正三角形は、負のエネルギーでも回り続ける。3 次元の正三角形はエネルギー $-1.500000$ で、4 次元の規則なら I は $\mathbf{0.577350}$ で $0$ になるはずだが、周期 $\mathbf{3.627599}$ で 2 周するあいだ I は $3.215$×10⁻¹² 以内で一定だった（第6節）。

第六に、分離子は、力の指数 n＝D−1 が 3 かどうかである。位置エネルギーの係数は 2(n−3)、正三角形のエネルギーは n−3 に比例し、どちらも n＝3 で 0 になる（第7節）。

キーワード：ラグランジュ＝ヤコビの恒等式、三体問題、慣性モーメント、ラグランジュの正三角形解、空間の次元、逆3乗の力

Abstract

The second time derivative Ï of the N-body moment of inertia I = Σm|x|² can be written in terms of the kinetic and potential energies (the Lagrange-Jacobi identity).This paper counts that identity and the motion of three bodies under D-dimensional gravity, where the force falls off as the (D−1)-th power of r because the field spreads over 4πr² in three dimensions and 2π²r³ in four.No new theorem or law is claimed.

First, Ï = 4E + 2(D−4)V, and only in four dimensions does the potential term drop out、Ï built from the force function and 4E + 2(D−4)V built from the potential function agreed within a relative difference of $8.882$×10⁻¹⁶ for 20 random states each at D = 3, 4 and 5 (Section 2).

Second, the energy of the spinning triangle changes sign in four dimensions、spinning three equal masses on an equilateral triangle of side 1 gives the energy 3(D−4)/(2(D−2)): $\mathbf{-1.500000}$ in three dimensions, $0$ in four, $\mathbf{0.500000}$ in five and $\mathbf{1.000000}$ in eight (Section 3).

Third, and this is the core. The moment of inertia of three bodies in four dimensions follows a parabola in time exactly、slowing the spinning triangle to $0.99$ times its speed gives the energy $\mathbf{-0.029850}$, and the time at which I falls to $1$ percent of its initial value, $\mathbf{4.072212491}$, agrees with the parabola’s prediction in every digit. The integration stops at $\mathbf{4.092370}$, just before the root $\mathbf{4.092728}$, where I also agrees with the parabola at $\mathbf{1.748861}$×10⁻⁴ (Section 4).

Fourth, three bodies with negative energy stop by collision before the root of the parabola、five random three-body systems in four dimensions kept I within a relative difference of $1.362$×10⁻¹² of the parabola while two bodies closed to a distance of 10⁻³ at $\mathbf{0.162020}$ to $\mathbf{0.853067}$ times the root (Section 5).

Fifth, the triangle in three dimensions keeps spinning at negative energy、the three-dimensional triangle has energy $-1.500000$, and by the four-dimensional rule I would reach $0$ at $\mathbf{0.577350}$, yet I stayed constant within $3.215$×10⁻¹² over two turns of period $\mathbf{3.627599}$ (Section 6).

Sixth, the separator is whether the force exponent n = D−1 equals 3、the coefficient of the potential energy is 2(n−3) and the energy of the spinning triangle is proportional to n−3, both vanishing at n = 3 (Section 7).

Keywords: Lagrange-Jacobi identity, three-body problem, moment of inertia, Lagrange equilateral solution, dimension of space, inverse-cube force

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1002/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1002 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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