YOI 1005：誘導放出を抜くと放射はウィーンの式になり、A と B の比の 8π だけが偏光の数を運ぶ

論文1005 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1005 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823713）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1005,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Without Stimulated Emission, Radiation Follows Wien's Law, and Only the 8π of A over B Carries the Polarization Count},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1005},
  doi = {10.5281/zenodo.22823713},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

アインシュタイン（1917）は、二つの準位のあいだの吸収・誘導放出・自発放出の速さを B12 u N1・B21 u N2・A N2 と置き、熱平衡で釣り合って準位の数がボルツマン分布になるなら、放射 u はプランクの式で、A と B21 の比は 8πhν³/c³ になることを示した。本稿は、この帳簿から誘導放出を外したとき何が起きるか、そして係数の 8π のどこに偏光の数が入るかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。誘導放出を外すと、釣り合う放射はウィーンの式になる。プランクとの比は 1 − exp(−x)（x＝hν/kT）で、x＝0.1 で $\mathbf{0.095163}$、x＝1 で $\mathbf{0.632121}$、x＝10 で $\mathbf{0.999955}$ だった。1 パーセント以内に入るのは x が $\mathbf{4.605170}$ より大きいとき、300 K なら波長 10.414 μm より短いときだけである。欠ける割合 exp(−x) は、プランクの放射の中で誘導放出が放出の全体に占める取り分と同じだった（第4節）。

第二に、8π は偏光の数 2 と k 空間の単位球の面積 4π の積である。周期箱の整数点を数えると、殻の点の数は単位球の面積に比例し（d＝3 で比 $\mathbf{0.994578}$）、波の向きに垂直な向きの数は d−1 だった。偏光 2 と 4π の積は $\mathbf{25.132741}$ で 8π と一致した（第2節）。

第三に、帳簿は実際にボルツマン分布へ落ち着く。プランクの放射の中で速さの式を時間で積分すると、縮退の比 1 と 3、x＝0.5〜10 の 8 通りとも、準位の数の比がボルツマン分布と相対差 $7.077$×10⁻¹⁴ 以内に落ち着いた（第3節）。

第四に、誘導放出と自発放出の比は占有数 1/(exp(x) − 1) で、四つの場面のあいだで 45.453 桁動く。太陽の表面（5772 K）の 500 nm で $\mathbf{0.006884}$、室温の 500 nm で $2.203651$×10⁻⁴²、室温の 1 GHz で $6.250486$×10³ だった。比が 1 になる波長は 300 K で $\mathbf{69.1905}$ μm である（第5節）。

第五に、誘導放出が吸収に勝つのは、温度が負のときだけである。632.8 nm で上の準位の数が下の 2 倍になる状態は T＝$\mathbf{-32802.090}$ K で、正の温度では下の準位が多く吸収が勝つ（第6節）。

第六に、分離子は、偏光の数が A と B の比に入るか、誘導放出と自発放出の比に入るかである。A と B の比の係数は d 次元で (d−1) 倍の単位球の面積（2π・8π・6π²・$\mathbf{105.275780}$）で偏光の数を運ぶ。一方、格子で数えたモードで組んだ放射の中の誘導／自発の比は、偏光を d−1 本にしても 1 本にしても同じだった（第7節）。

キーワード：誘導放出、自発放出、アインシュタイン係数、ウィーンの式、偏光の数、負の温度

Abstract

Einstein (1917) wrote the rates of absorption, stimulated emission and spontaneous emission between two levels as B12 u N1, B21 u N2 and A N2, and showed that if they balance in thermal equilibrium with Boltzmann level populations, the radiation u is Planck’s law and the ratio of A to B21 is 8πhν³/c³.This paper counts what happens when stimulated emission is removed from this ledger, and where in the coefficient 8π the number of polarizations enters.No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core. Without stimulated emission, the balancing radiation is Wien’s law、its ratio to Planck’s law is 1 − exp(−x) with x = hν/kT: $\mathbf{0.095163}$ at x = 0.1, $\mathbf{0.632121}$ at x = 1 and $\mathbf{0.999955}$ at x = 10. It is within 1 percent only for x above $\mathbf{4.605170}$, which at 300 K means wavelengths shorter than 10.414 μm. The missing fraction exp(−x) equals the share of stimulated emission in all emission within Planck radiation (Section 4).

Second, 8π is the product of the polarization count 2 and the area 4π of the unit sphere in k-space、counting integer points in a periodic box, the number in a shell is proportional to the area of the unit sphere (ratio $\mathbf{0.994578}$ for d = 3), and the number of directions perpendicular to the wave is d − 1. The product of 2 polarizations and 4π is $\mathbf{25.132741}$, equal to 8π (Section 2).

Third, the ledger does settle to the Boltzmann distribution、integrating the rate equations in time inside Planck radiation, for degeneracy ratios 1 and 3 and x from 0.5 to 10, all 8 cases settled to level ratios within a relative difference of $7.077$×10⁻¹⁴ of Boltzmann (Section 3).

Fourth, the ratio of stimulated to spontaneous emission is the occupation 1/(exp(x) − 1), and it moves by 45.453 orders of magnitude across four settings、it was $\mathbf{0.006884}$ at 500 nm on the solar surface (5772 K), $2.203651$×10⁻⁴² at 500 nm at room temperature and $6.250486$×10³ at 1 GHz at room temperature. The ratio is 1 at a wavelength of $\mathbf{69.1905}$ μm at 300 K (Section 5).

Fifth, stimulated emission beats absorption only at negative temperature、at 632.8 nm, a state with twice as many atoms in the upper level as in the lower is T = $\mathbf{-32802.090}$ K; at positive temperature the lower level holds more and absorption wins (Section 6).

Sixth, the separator is whether the number of polarizations enters the ratio of A to B or the ratio of stimulated to spontaneous emission、the coefficient of A over B in d dimensions is d − 1 times the area of the unit sphere (2π, 8π, 6π², $\mathbf{105.275780}$) and carries the polarization count. The ratio of stimulated to spontaneous emission in radiation built from lattice-counted modes was the same with d − 1 polarizations as with 1 (Section 7).

Keywords: stimulated emission, spontaneous emission, Einstein coefficients, Wien's law, number of polarizations, negative temperature

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1005/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1005 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ