YOI 1008：体積の積は束が在るかを見分けず、ミルナーの 7 次元球面は k²−1 を 7 で割った余りで見分ける

論文1008 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1008 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823845）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1008,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Volume Products Cannot Tell Whether a Sphere Bundle Exists, but k² − 1 Modulo 7 Tells Milnor's 7-Spheres Apart},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1008},
  doi = {10.5281/zenodo.22823845},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ホップ束 S¹→S³→S² では、全空間 S³ の体積 2π² が、半径 1/2 の底空間 S² の面積 π と繊維 S¹ の長さ 2π の積になる。本稿は、同じ形の体積の積を他の次元で数え、束が在る次元と比べ、束の在る次元の一つ n＝4 で、S⁴ の上の S³ 束からミルナー（1956）の 7 次元球面を見分ける不変量を数える。新しい定理は主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。体積の積は、束の無い次元でも成り立つ、2n−1 次元球面の体積と、n−1 次元球面と半径 1/2 の n 次元球面の体積の積は、n＝1〜12 のすべてで相対差 $4.505$×10⁻¹⁶ 以内で一致した。束の無い n＝3 でも $\mathbf{31.006277}$＝$\mathbf{12.566371}$×$\mathbf{2.467401}$ である（第3節）。

第二に、束が在る次元を数で当てるのは、体積ではなくベクトル場の数である。n−1 次元球面の独立なベクトル場の数を与えるラドン＝フルヴィッツ数が n に等しくなるのは、n＝1〜64 で 1・2・4・8 だけで、ホップ束が在る四つの次元（アダムズ 1960）と同じだった（第4節）。

第三に、四元数のホップ写像 S⁷→S⁴ は、乱数の点で確かめても束になっている。200000 点で、像は単位球面に乗り、右から単位四元数を掛けても像は変わらず（差 $7.772$×10⁻¹⁶）、像の分布は一様な S⁴ とコルモゴロフ＝スミルノフ距離 $\mathbf{0.001281}$ だった。共役を落とすと、繊維に沿って像が $\mathbf{1.956018}$ まで動いた（第2節）。

第四に、ミルナーの束 Mₖ は、k²−1 を 7 で割った余りで見分ける。h＋j＝1 の S⁴ 上の S³ 束はどれも S⁷ と同相で、第一ポントリャーギン類 ±2k と符号数 1 から、不変量 λ は 2(2k)²−1 と k²−1 の 7 の余りが奇数 k＝−49〜49 のすべてで一致した。余りは 0・1・3・6 の 4 通りで、0 でなければ S⁷ と微分同相でない（第5節）。

第五に、四元数のホップ束は余り 0 の側にある。余りが 0 になるのは k を 7 で割って 1 か 6 余るときで、k＝1〜27 の奇数では 1・13・15・27、k＝1 が四元数のホップ束である。残る 10 個は S⁷ と微分同相でないと分かる（第5節）。

第六に、分離子は、数えているのが体積か、位相の不変量か、体積の積はガンマ関数の倍数公式で、どの n でも成り立つので束の有無を見分けない。束の有無はベクトル場やホップ不変量が、束の微分の違いは λ が見分ける（第6節）。

キーワード：ホップ束、四元数、異種球面、ミルナーの不変量、ラドン＝フルヴィッツ数、倍数公式

Abstract

In the Hopf fibration S¹→S³→S², the volume 2π² of the total space S³ is the product of the area π of the base S² of radius 1/2 and the length 2π of the fibre S¹.This paper counts the same volume product in other dimensions, compares it with the dimensions where bundles exist, and in one of those, n = 4, counts the invariant that tells Milnor’s (1956) 7-spheres apart among S³-bundles over S⁴.No new theorem is claimed.

First, and this is the core. The volume product holds even in dimensions with no bundle、the volume of the (2n−1)-sphere and the product of the volumes of the (n−1)-sphere and the n-sphere of radius 1/2 agreed within a relative difference of $4.505$×10⁻¹⁶ for every n from 1 to 12. Even for n = 3, with no bundle, $\mathbf{31.006277}$ = $\mathbf{12.566371}$ × $\mathbf{2.467401}$ (Section 3).

Second, what picks out the dimensions with bundles by a number is not volume but the count of vector fields、the Radon–Hurwitz number, which gives the number of independent vector fields on the (n−1)-sphere, equals n only for n = 1, 2, 4, 8 among n = 1 to 64, the same four dimensions in which Hopf fibrations exist (Adams 1960) (Section 4).

Third, the quaternionic Hopf map S⁷→S⁴ checks out as a bundle on random points、with 200000 points, images lie on the unit sphere, right multiplication by a unit quaternion leaves them unchanged (difference $7.772$×10⁻¹⁶), and their distribution is at Kolmogorov–Smirnov distance $\mathbf{0.001281}$ from a uniform S⁴. Dropping the conjugate moves images along the fibre by up to $\mathbf{1.956018}$ (Section 2).

Fourth, Milnor’s bundles Mₖ are told apart by k² − 1 modulo 7、every S³-bundle over S⁴ with h + j = 1 is homeomorphic to S⁷, and from the first Pontryagin class ±2k and signature 1, the invariant λ, 2(2k)² − 1 modulo 7, agreed with k² − 1 modulo 7 for all odd k from −49 to 49. The residues are the 4 values 0, 1, 3, 6, and a nonzero residue means not diffeomorphic to S⁷ (Section 5).

Fifth, the quaternionic Hopf bundle is on the residue-0 side、the residue is 0 when k leaves remainder 1 or 6 on division by 7: 1, 13, 15, 27 among odd k from 1 to 27, and k = 1 is the quaternionic Hopf bundle. The remaining 10 are known not to be diffeomorphic to S⁷ (Section 5).

Sixth, the separator is whether one counts volume or a topological invariant、the volume product is the duplication formula of the gamma function and holds for every n, so it cannot tell whether a bundle exists. Vector fields and the Hopf invariant tell whether a bundle exists, and λ tells smooth differences among bundles (Section 6).

Keywords: Hopf fibration, quaternions, exotic sphere, Milnor invariant, Radon-Hurwitz number, duplication formula

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1008/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1008 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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