YOI 1009：等しい質量の三体で、回る正三角形の乱れは一周期ごとに掛け算で、八の字の乱れは足し算で育つ

論文1009 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1009 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22823894）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1009,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Three Equal Masses: the Spinning Triangle's Disturbance Multiplies Each Period, the Figure Eight's Only Adds},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1009},
  doi = {10.5281/zenodo.22823894},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

三つの等しい質量が重力で動くとき、形を保ったまま回る正三角形（ラグランジュ 1772）と、三つが一本の八の字の曲線を追いかけあう解（ムーア 1993・シャンシネ＝モンゴメリ 2000）がある。本稿は、二つの解に同じ大きさの乱れを入れ、周期ごとの育ち方を数値積分で数える。あわせて、八の字の振り付け・一直線に並ぶ回数・ビリアルを確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、八の字の解は、一周期に六回一直線に並ぶ振り付けである。周期は $\mathbf{6.325914}$ で、体 1 の位置は 1/3 周期後の体 3、2/3 周期後の体 2 と差 $1.370$×10⁻⁸ で一致した（順番を逆にすると $\mathbf{1.940009}$ ずれる）。一周期に 6 回一直線に並び、三つの体が 2 回ずつ真ん中に来た（第2節）。

第二に、八の字では、位置エネルギーの平均がエネルギーのちょうど 2 倍になる。エネルギー $\mathbf{-1.287141992}$ に対して、一周期の平均は位置エネルギーが 2.000000 倍、運動エネルギーが −1.000000 倍で、慣性モーメントの二階微分 4E−2V の平均は $-3.350$×10⁻¹⁰ だった。慣性モーメントは $\mathbf{1.991310}$ から $\mathbf{2.000000}$ のあいだしか動かない（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。回る正三角形の乱れは、一周期ごとに掛け算で育つ、大きさ 10⁻⁸ の乱れは 1・2・3 周期で $2.9673$×10¹・$2.4732$×10³・$2.1027$×10⁵ 倍になり、一周期に $\mathbf{84.179}$ 倍だった。辺の長さの最大/最小 − 1 は 4 周期で $2.016355$×10⁻¹ になり、形が崩れた（第4節）。

第四に、八の字の乱れは、周期に比例して足し算で育つ、同じ乱れは 1・10・40 周期で 42.7・431.6・1721.1 倍で、向きによらない三辺の長さの差も 5.6・52.4・208.3 倍と、40 周期と 10 周期の比が $\mathbf{3.974215}$ だった。時間をずらしても差は縮まなかった（第4節）。

第五に、等しい質量の正三角形のラウスの値は 9 で、490 の制限三体の柵と同じ式である。27(m1m2＋m2m3＋m3m1)/(m1＋m2＋m3)² は等しい質量で $\mathbf{9.000000}$、一つの質量を 0 にすると 27μ(1−μ) になり、質量比 24.9599357944 で 1.000000000 だった（第5節）。

第六に、分離子は、乱れの育ちが周期ごとの倍率で決まるか、周期ごとの増分で決まるか、同じ 10⁻⁸ の乱れが、正三角形では 4 周期で形を崩し、八の字では 40 周期で三辺の長さの差を 208.3 倍にしかしなかった（第6節）。

キーワード：三体問題、八の字解、振り付け、ラグランジュの正三角形解、ビリアル定理、乱れの成長

Abstract

Three equal masses under gravity admit a triangle that spins keeping its shape (Lagrange 1772) and a solution in which the three chase each other along one figure-eight curve (Moore 1993, Chenciner and Montgomery 2000).This paper puts disturbances of the same size into both and counts their growth per period by numerical integration, and also checks the figure eight’s choreography, number of collinear moments, and virial balance.No new theorem or law is claimed.

First, the figure-eight solution is a choreography collinear six times per period、its period is $\mathbf{6.325914}$, and the position of body 1 matched body 3 a third of a period later and body 2 two thirds later within $1.370$×10⁻⁸ (reversing the order gives $\mathbf{1.940009}$). The bodies were collinear 6 times per period, each of the three in the middle twice (Section 2).

Second, in the figure eight the mean potential energy is exactly twice the energy、with energy $\mathbf{-1.287141992}$, the one-period averages were 2.000000 times for the potential energy and −1.000000 times for the kinetic energy, and the average of the second derivative of the moment of inertia, 4E − 2V, was $-3.350$×10⁻¹⁰. The moment of inertia moves only between $\mathbf{1.991310}$ and $\mathbf{2.000000}$ (Section 3).

Third, and this is the core. The spinning triangle’s disturbance grows by multiplication each period、a disturbance of size 10⁻⁸ became $2.9673$×10¹, $2.4732$×10³ and $2.1027$×10⁵ times after 1, 2 and 3 periods, $\mathbf{84.179}$ times per period. The largest over smallest side length minus 1 reached $2.016355$×10⁻¹ after 4 periods, and the shape broke (Section 4).

Fourth, the figure eight’s disturbance grows by addition, in proportion to the number of periods、the same disturbance became 42.7, 431.6 and 1721.1 times after 1, 10 and 40 periods, and the orientation-free difference of the three side lengths 5.6, 52.4 and 208.3 times, with a 40-to-10-period ratio of $\mathbf{3.974215}$. Shifting time did not shrink the difference (Section 4).

Fifth, the Routh value of the equal-mass triangle is 9, and it is the same formula as the fence of the restricted problem in Paper 490、27(m1m2 + m2m3 + m3m1)/(m1 + m2 + m3)² is $\mathbf{9.000000}$ for equal masses; setting one mass to 0 gives 27μ(1 − μ), which is 1.000000000 at the mass ratio 24.9599357944 (Section 5).

Sixth, the separator is whether disturbance growth is set by a factor per period or by an increment per period、the same 10⁻⁸ disturbance broke the triangle’s shape in 4 periods, but made the figure eight’s side-length difference only 208.3 times in 40 periods (Section 6).

Keywords: three-body problem, figure-eight solution, choreography, Lagrange equilateral solution, virial theorem, growth of disturbances

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1009/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1009 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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