YOI 1016：べきの和の方程式の解の数は、指数の作る三角形が球面か平面か双曲面かで分かれる

論文1016 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1016 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22829392）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1016,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Whether a Sum of Powers Has Many Solutions Depends on Whether Its Exponents Make a Spherical, Flat or Hyperbolic Triangle},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1016},
  doi = {10.5281/zenodo.22829392},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

x の a 乗と y の b 乗の和が z の c 乗になる整数の解（一般化フェルマー方程式）は、指数の組で様子が大きく変わる。ビール予想とフェルマー＝カタラン予想は、その一部について未解決の問いである。本稿は、指数から角 π/a・π/b・π/c の三角形を作り、それが球面・平面・双曲面のどれに描けるかで解の数を並べる。新しい定理も法則も主張せず、予想を証明もしない。

第一に、これが本稿の芯である。フェルマーの n＝2・3・4 は、球面・平面・双曲面に一つずつ入る。指数の逆数の和 3/n は n＝2 で 1.5（球面）、3 でちょうど 1（平面）、4 で 0.75（双曲）である。n＝2 の原始ピタゴラス数は斜辺 10000 まで 1593 組あり、斜辺を 2π で割った $\mathbf{1591.549431}$ と同じ大きさだった。n＝3 と 4 は、調べた箱の中に解が無かった（第2節）。

第二に、球面では三角形の枚数が 4π から決まり、原始解は族をなす。面積 π(和−1) の三角形で球面を覆う枚数は (2,2,3) で 12、(2,3,3) で 24、(2,3,4) で 48、(2,3,5) で 120 である。x²+y²=z³ の原始解は z≤50・100・200 で 14・32・64 組と増え、すべてがガウス整数の三乗から出る一つの族に入った（第1節・第3節）。

第三に、双曲では、原始解は有限個で、既知の五つがちょうど出る。x²+y³=z⁷（和 $\mathbf{0.976190}$）の原始解を z≤120 の箱で探すと、3²−2³＝1⁷、71²−17³＝2⁷、21063928²−76271³＝17⁷、2213459²+1414³＝65⁷、15312283²+9262³＝113⁷ の五つで、ポーネンらが示した一覧とちょうど一致した。平面の x²+y³=z⁶ では 3²−2³＝1 だけだった（第4節）。

第四に、小さな箱の個数だけでは三つは分かれない。球面の側の x²+y³=z⁵（和 $\mathbf{1.033333}$）でも、z≤60 の箱の原始解は 5 個（z＝57 の 12092581²−52684³ を含む）しかなかった。三つを分けているのは個数ではなく、解を式で書ける族があるかどうかである（第4節）。

第五に、共通因数を許すと、双曲でも解はいくらでもある。x³+y³=z⁴ には z≤200 で 17 組の解（2³+2³＝2⁴、9³+18³＝9⁴ など）があったが、原始解は 0 組だった。ビール予想が問うのは、解に必ず共通因数があるかどうかである（第5節）。

第六に、分離子は、指数の逆数の和が 1 を超えるか、超えれば三角形は球面に描け、その面積が 4π を有限の枚数で覆う。ちょうど 1 なら平面、足りなければ双曲面である（第6節）。

キーワード：一般化フェルマー方程式、ビール予想、フェルマー＝カタラン予想、球面過剰、ジラールの定理、ピタゴラス数

Abstract

The integer solutions of x to the power a plus y to the power b equal to z to the power c (the generalized Fermat equation) change greatly with the exponents. The Beal conjecture and the Fermat-Catalan conjecture are open questions about parts of this.This paper forms from the exponents a triangle with angles π/a, π/b, π/c and lines up the number of solutions by whether that triangle lies on a sphere, a plane or a hyperbolic plane.No new theorem or law is claimed, and no conjecture is proved.

First, and this is the core. Fermat’s n = 2, 3 and 4 fall one each onto the sphere, the plane and the hyperbolic plane、the sum of reciprocal exponents 3/n is 1.5 for n = 2 (sphere), exactly 1 for 3 (plane) and 0.75 for 4 (hyperbolic). There are 1593 primitive Pythagorean triples with hypotenuse up to 10000, the same size as the hypotenuse divided by 2π, $\mathbf{1591.549431}$. For n = 3 and 4 the boxes searched held no solutions (Section 2).

Second, on the sphere the number of triangles is fixed by 4π, and the primitive solutions form families、the number of triangles of area π(sum − 1) covering the sphere is 12 for (2,2,3), 24 for (2,3,3), 48 for (2,3,4) and 120 for (2,3,5). The primitive solutions of x² + y² = z³ grew as 14, 32 and 64 for z up to 50, 100 and 200, and all belonged to one family coming from cubes of Gaussian integers (Sections 1 and 3).

Third, on the hyperbolic side the primitive solutions are finite, and the five known ones came out exactly、searching x² + y³ = z⁷ (sum $\mathbf{0.976190}$) for z up to 120 gave five primitive solutions, 3² − 2³ = 1⁷, 71² − 17³ = 2⁷, 21063928² − 76271³ = 17⁷, 2213459² + 1414³ = 65⁷ and 15312283² + 9262³ = 113⁷, exactly the list of Poonen and coauthors. On the flat x² + y³ = z⁶ only 3² − 2³ = 1 appeared (Section 4).

Fourth, counts in small boxes alone do not separate the three、even the spherical x² + y³ = z⁵ (sum $\mathbf{1.033333}$) had only 5 primitive solutions for z up to 60 (including 12092581² − 52684³ at z = 57). What separates the three is not the count but whether a family of solutions given by formulas exists (Section 4).

Fifth, allowing a common factor, solutions abound even on the hyperbolic side、x³ + y³ = z⁴ had 17 solutions with z up to 200 (2³ + 2³ = 2⁴, 9³ + 18³ = 9⁴ and so on), but 0 primitive ones. What the Beal conjecture asks is whether every solution must share a common factor (Section 5).

Sixth, the separator is whether the sum of the reciprocal exponents exceeds 1、if it does, the triangle lies on a sphere and its area covers 4π a finite number of times; exactly 1 gives the plane, and less gives the hyperbolic plane (Section 6).

Keywords: generalized Fermat equation, Beal conjecture, Fermat-Catalan conjecture, spherical excess, Girard's theorem, Pythagorean triples

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1016/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1016 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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