YOI 1023：空の青は分子を置いても置かなくても同じ数を返し、置かない式は臨界点で発散する

論文1023 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1023 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22859925）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1023,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Blue of the Sky Returns the Same Number With or Without Molecules, and the Formula Without Them Diverges at the Critical Point},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1023},
  doi = {10.5281/zenodo.22859925},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

空が青いのは、空気が短い波長の光をよく散らすからである。レイリー（1899）は分子を独立な散乱体として置いてこれを数え、アインシュタイン（1910）は分子を置かず、密度のゆらぎと等温圧縮率だけで同じ現象を書いた。本稿は、二つの式が空気で同じ数を返すこと、分子を置かない式が圧縮率を通して分子の数を返すこと、水では二つが分かれること、臨界点で置かない式が発散することを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。二つの道は空気で同じ数を返す。550 nm・標準状態で、分子を置く道の減衰係数は 1 メートルあたり $\mathbf{1.039926\times10^{-5}}$、ゆらぎの道も $\mathbf{1.039926\times10^{-5}}$ で、比は $\mathbf{1.000000000000}$ だった。散乱の長さは $\mathbf{96.160661}$ km、尺度高 8 km の大気の光学的厚さは $\mathbf{0.083194}$、透過率は $\mathbf{0.920173}$ である（第2節）。

第二に、分子を置かない式が、分子の数を返す。ゆらぎの式に入るのは kT κ_T だけで、理想気体ではこれが 1/N（$\mathbf{3.721900\times10^{-26}}$ m³）に等しい。ゆらぎの道の減衰係数から数密度を逆算すると $\mathbf{2.686800\times10^{25}}$ /m³ に戻り、アボガドロ数に直せば $\mathbf{6.022185\times10^{23}}$ である。空の青は、分子を仮定しなくても分子を数える（第2節）。

第三に、水では二つの道が分かれる。分子を独立に置くと散乱の長さは $\mathbf{61.243631}$ m、ゆらぎの道では $\mathbf{635.188804}$ m で、比は $\mathbf{0.096418}$ である。水の kT κ_T は理想気体の 1/N の $\mathbf{0.060832}$ 倍しかなく、屈折率の入り方（ローレンツ＝ローレンツの $\mathbf{0.978075}$ 対 $\mathbf{0.776889}$）も違う。分子が独立でないとき、正しいのはゆらぎの側である（第3節）。

第四に、臨界点ではゆらぎの式が発散する。ファン・デル・ワールスの臨界等容線で、等温圧縮率は理想気体の 4(1+ε)/(9ε) 倍（ε は臨界温度からのずれの割合）で、ε＝0.1・0.01・0.001 で $\mathbf{4.888889}$・$\mathbf{44.888889}$・$\mathbf{444.888889}$ 倍、二酸化炭素の臨界温度の 0.3 K 上で $\mathbf{451.007407}$ 倍になる。液体が白く濁る臨界乳光は、空の青と同じ式の分母が 0 に近づく側である（第4節）。

第五に、二つの道は論文300 の基準で同根である。同じ数を返すだけでなく、kT κ_T＝1/N という一つの等式が両方を結び、その等式が破れる水では数も 0.096418 倍に分かれる（第5節）。

第六に、分離子は、散らすものを分子と数えるか、ゆらぎと数えるか、空気ではどちらでも同じ、水では分子と数えると 10 倍外れ、臨界点では分子と数える式に発散の出る場所が無い（第5節）。

キーワード：レイリー散乱、密度のゆらぎ、等温圧縮率、臨界乳光、アボガドロ数、空の青

Abstract

The sky is blue because air scatters short wavelengths more strongly. Rayleigh (1899) counted this with molecules placed as independent scatterers; Einstein (1910) wrote the same phenomenon without molecules, from density fluctuations and the isothermal compressibility alone.This paper counts that the two formulas return the same number for air, that the formula without molecules returns their number through the compressibility, that the two split in water, and that the formula without molecules diverges at the critical point.No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core. The two routes return the same number for air、at 550 nm and standard conditions, the attenuation coefficient by the molecular route is $\mathbf{1.039926\times10^{-5}}$ per metre and by the fluctuation route $\mathbf{1.039926\times10^{-5}}$, with ratio $\mathbf{1.000000000000}$. The scattering length is $\mathbf{96.160661}$ km, the optical depth of an atmosphere of scale height 8 km is $\mathbf{0.083194}$, and the transmittance $\mathbf{0.920173}$ (Section 2).

Second, the formula without molecules returns their number、the only material input to the fluctuation formula is kT κ_T, which for an ideal gas equals 1/N ($\mathbf{3.721900\times10^{-26}}$ m³). Inverting the fluctuation-route coefficient gives back the number density $\mathbf{2.686800\times10^{25}}$ per m³, that is $\mathbf{6.022185\times10^{23}}$ per mole. The blue of the sky counts molecules without assuming them (Section 2).

Third, in water the two routes split、with independent molecules the scattering length is $\mathbf{61.243631}$ m, by the fluctuation route $\mathbf{635.188804}$ m, a ratio of $\mathbf{0.096418}$. The kT κ_T of water is only $\mathbf{0.060832}$ of the ideal-gas 1/N, and the refractive index enters differently (Lorentz-Lorenz $\mathbf{0.978075}$ against $\mathbf{0.776889}$). When molecules are not independent, the fluctuation side is the right one (Section 3).

Fourth, at the critical point the fluctuation formula diverges、on the critical isochore of the van der Waals gas the isothermal compressibility is 4(1+ε)/(9ε) times that of the ideal gas (ε the fractional distance from the critical temperature): $\mathbf{4.888889}$, $\mathbf{44.888889}$ and $\mathbf{444.888889}$ at ε = 0.1, 0.01 and 0.001, and $\mathbf{451.007407}$ at 0.3 K above the critical temperature of carbon dioxide. The critical opalescence that whitens a liquid is the side of the same formula on which the denominator approaches zero (Section 4).

Fifth, the two routes share a root by the criterion of Paper 300、not only do they return the same number: one equation, kT κ_T = 1/N, ties them together, and where that equation fails, in water, the numbers split by 0.096418 (Section 5).

Sixth, the separator is whether what scatters is counted as molecules or as fluctuations、in air either will do, in water counting molecules is off by a factor of ten, and at the critical point the molecular formula has no place for a divergence (Section 5).

Keywords: Rayleigh scattering, density fluctuations, isothermal compressibility, critical opalescence, Avogadro number, blue of the sky

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1023/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1023 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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