YOI 1024：球を混ぜた液の粘度の 2.5 は、粒子の体積ではなく粒子が外の流れに置く応力から出る

論文1024 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1024 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22859983）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1024,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 2.5 in the Viscosity of a Suspension Comes Not from the Volume of the Particles but from the Stress They Place on the Flow Outside},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1024},
  doi = {10.5281/zenodo.22859983},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

小さな球を体積の割合 φ だけ混ぜた液の粘度は、希薄なら元の粘度の (1＋2.5φ) 倍になる。アインシュタインは 1906 年の学位論文でこの係数を 1 と書き、1911 年の訂正で 2.5 に直した。本稿は、一様なひずみ流の中の球のストークス解を記号計算で検算し、球面での応力の面積分から 2.5 を出し、その係数が粘度と拡散から決めるアボガドロ数にどう効くかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。2.5 は粒子の体積ではなく、粒子が外の流れに置く応力から出る。球面での応力の面積分（ストレスレット）を 400×800 の格子で数値積分すると、粘度と半径の三乗とひずみを 1 と置いて対角成分は $\mathbf{20.943978}$ で、閉じた式の 20π/3＝$\mathbf{20.943951}$ と比 $\mathbf{1.000001}$ で一致した。有効粘度の増分の係数はこれを粒子の体積 4π/3 で割った (10π/3)/(4π/3)＝$\mathbf{2.500000}$ である（第3節）。

第二に、使った解は方程式と境界条件を満たす。記号計算で、連続の式は 0、ストークスの運動方程式の残差は三成分とも 0、球面上の点 (3/5, 4/5, 0)a で速度は 0 だった（第2節）。

第三に、粒子の影響は 1/r² で外へ届く。一様なひずみからの乱れに距離の二乗を掛けて遠方の極限を取ると、x 軸上の第一成分で −5a³/2 に収束する。粘度に効くのは、この外に届く応力である（第2節）。

第四に、係数はアボガドロ数に平方根で効く。粘度の増分はアボガドロ数と分子の半径の三乗の積を、拡散係数はその一乗の積を決めるので、二つを連立すると係数 k を 1 から 2.5 に替えたときアボガドロ数は √2.5＝$\mathbf{1.581139}$ 倍、半径は 1/√2.5 倍に動く（第4節）。

第五に、希薄な範囲では増分は割合に比例する。φ＝0.01・0.02・0.05 で粘度の比は $\mathbf{1.025000}$・$\mathbf{1.050000}$・$\mathbf{1.125000}$ である（第4節）。

第六に、分離子は、粒子の中の体積で数えるか、粒子の外の応力で数えるか、体積の割合だけなら係数は 1 で止まる。2.5 のうち体積を超える分は、球が外の流れを曲げて置く応力の分である（第5節）。

キーワード：アインシュタインの粘度の式、ストークス流、ストレスレット、懸濁液、アボガドロ数、有効粘度

Abstract

A liquid with small spheres mixed in at volume fraction φ has, when dilute, (1 + 2.5φ) times its original viscosity. Einstein wrote the coefficient as 1 in his 1906 doctoral thesis and corrected it to 2.5 in 1911.This paper checks the Stokes solution for a sphere in a uniform straining flow by symbolic computation, obtains 2.5 from the surface integral of the stress over the sphere, and counts how that coefficient enters the Avogadro number determined from viscosity and diffusion.No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core. The 2.5 comes not from the volume of the particle but from the stress it places on the flow outside、integrating the stress over the sphere numerically on a 400×800 grid, with viscosity, radius cubed and strain set to 1, the diagonal component is $\mathbf{20.943978}$, agreeing with the closed form 20π/3 = $\mathbf{20.943951}$ at a ratio of $\mathbf{1.000001}$. The coefficient of the increase in effective viscosity is this divided by the particle volume 4π/3, (10π/3)/(4π/3) = $\mathbf{2.500000}$ (Section 3).

Second, the solution used satisfies the equations and the boundary condition、symbolically, the divergence is 0, the residual of the Stokes equation is 0 in all three components, and the velocity vanishes at the surface point (3/5, 4/5, 0)a (Section 2).

Third, the influence of the particle reaches outward as 1/r²、multiplying the disturbance from the uniform strain by the square of the distance and taking the far limit on the x axis, the first component tends to −5a³/2. What acts on the viscosity is this stress that reaches outside (Section 2).

Fourth, the coefficient enters Avogadro’s number as a square root、the viscosity increase fixes the product of Avogadro’s number and the cube of the molecular radius, the diffusion coefficient fixes the product with the first power, so solving the two together, changing the coefficient k from 1 to 2.5 moves Avogadro’s number by √2.5 = $\mathbf{1.581139}$ and the radius by 1/√2.5 (Section 4).

Fifth, in the dilute range the increase is proportional to the fraction、at φ = 0.01, 0.02 and 0.05 the viscosity ratios are $\mathbf{1.025000}$, $\mathbf{1.050000}$ and $\mathbf{1.125000}$ (Section 4).

Sixth, the separator is whether one counts the volume inside the particle or the stress outside it、the volume fraction alone would stop the coefficient at 1. The part of 2.5 beyond the volume is the stress the sphere places by bending the flow outside (Section 5).

Keywords: Einstein viscosity formula, Stokes flow, stresslet, suspension, Avogadro number, effective viscosity

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1024/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1024 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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