YOI 1027：回る円板の空間の曲率は −3Ω²/c² で、速度空間の −1/c² とは引数が違う

論文1027 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1027 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860239）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1027,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Spatial Curvature of a Rotating Disk Is −3Ω²/c², and Its Argument Differs from the −1/c² of Velocity Space},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1027},
  doi = {10.5281/zenodo.22860239},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

回る円板の周は直径の π 倍より長い（エーレンフェスト 1909）。アインシュタインはこの円板を、重力の下で幾何がユークリッドでなくなることの手がかりに使った。本稿は、回転系の空間の計量のガウス曲率を記号計算と数値微分の二つの道で出し、周と面積の伸びを数え、本体系が速度空間に見てきた負の曲率 −1/c² と並べる。新しい定理も法則も主張せず、エーレンフェストのパラドックスを解いたとも言わない。

第一に、これが本稿の芯である。回る円板の空間の曲率は −3Ω²/c² で、回転を止めれば消える。計量 dl²＝dr²＋r²dφ²/(1−Ω²r²/c²) のガウス曲率は K(r)＝−3Ω²c²/(c²−Ω²r²)² で、中心で −3Ω²/c²、Ω＝0 で 0 である。記号計算と数値微分は 6 点で $\mathbf{3\times10^{-8}}$ 以内で一致した（第2節）。

第二に、周は γ 倍伸びる。縁が光速の β 倍で回る円板の周÷直径を数値積分すると πγ に 10 の −9 乗以内で一致し、β＝0.1・0.5・0.9 で $\mathbf{3.157419}$・$\mathbf{3.627599}$・$\mathbf{7.207308}$（π の $\mathbf{1.005038}$・$\mathbf{1.154701}$・$\mathbf{2.294157}$ 倍）である（第3節）。

第三に、面積は周ほどは伸びない。面積÷πR² は 2(1−√(1−β²))/β² で、β＝0.1・0.5・0.9 で $\mathbf{1.002513}$・$\mathbf{1.071797}$・$\mathbf{1.392864}$ と、いずれも 1 より大きく γ より小さい（第3節）。

第四に、曲率半径は縁の速さで決まる。中心の曲率半径 c/(√3 Ω) は、縁が β＝0.5 で回るとき円板の半径の $\mathbf{1.154701}$ 倍、β＝0.1 で $\mathbf{5.773503}$ 倍で、縁が β＝1/√3＝$\mathbf{0.577350}$ で回るとき円板の半径に等しい。面積 0.01 の小さな三角形の角の和は π より $\mathbf{0.007500}$ だけ小さい（双曲的）（第4節）。

第五に、速度空間の −1/c² とは、分母は同じでも引数と単位が違う。速度空間の曲率は Ω を含まず、単位は 1/速度² である。円板の曲率は 1/長さ² で、Ω² に比例する。結ぶ等式が無いので、論文300 の基準では同根とは言えない（第5節）。

第六に、分離子は、曲げているのが回転か、速度の合成か、円板を曲げているのは回転で、速度空間を曲げているのは速度の合成である。同じ負の曲率でも、止めれば消えるものと消えないものがある（第5節）。

キーワード：回転する円板、ガウス曲率、エーレンフェストのパラドックス、回転系の計量、速度空間、双曲幾何

Abstract

The circumference of a rotating disk is longer than π times its diameter (Ehrenfest 1909). Einstein used this disk as a clue that geometry under gravity would not be Euclidean.This paper obtains the Gaussian curvature of the spatial metric of a rotating frame by two routes, symbolic computation and numerical differentiation, counts the growth of circumference and area, and sets the result beside the negative curvature −1/c² that this corpus has seen in velocity space.No new theorem or law is claimed, and the Ehrenfest paradox is not said to be solved.

First, and this is the core. The spatial curvature of a rotating disk is −3Ω²/c², and it vanishes when the rotation stops、the Gaussian curvature of the metric dl² = dr² + r²dφ²/(1 − Ω²r²/c²) is K(r) = −3Ω²c²/(c² − Ω²r²)², equal to −3Ω²/c² at the centre and 0 at Ω = 0. Symbolic computation and numerical differentiation agreed within $\mathbf{3\times10^{-8}}$ at six points (Section 2).

Second, the circumference grows by γ、integrating the circumference over the diameter numerically for a disk whose rim moves at β times the speed of light agrees with πγ within 10 to the −9: $\mathbf{3.157419}$, $\mathbf{3.627599}$ and $\mathbf{7.207308}$ at β = 0.1, 0.5 and 0.9 ($\mathbf{1.005038}$, $\mathbf{1.154701}$ and $\mathbf{2.294157}$ times π) (Section 3).

Third, the area grows less than the circumference、the area over πR² is 2(1 − √(1 − β²))/β², that is $\mathbf{1.002513}$, $\mathbf{1.071797}$ and $\mathbf{1.392864}$ at β = 0.1, 0.5 and 0.9, each greater than 1 and less than γ (Section 3).

Fourth, the radius of curvature is set by the rim speed、the central radius of curvature c/(√3 Ω) is $\mathbf{1.154701}$ times the disk radius when the rim moves at β = 0.5 and $\mathbf{5.773503}$ times at β = 0.1, and equals the disk radius when the rim moves at β = 1/√3 = $\mathbf{0.577350}$. The angles of a small geodesic triangle of area 0.01 sum to $\mathbf{0.007500}$ less than π (hyperbolic) (Section 4).

Fifth, it differs from the −1/c² of velocity space in argument and in units, though the denominator is the same、the curvature of velocity space contains no Ω and has units of 1 over speed squared. The curvature of the disk has units of 1 over length squared and is proportional to Ω². There is no equation tying them, so by the criterion of Paper 300 they cannot be said to share a root (Section 5).

Sixth, the separator is whether what bends is rotation or the composition of velocities、what bends the disk is rotation; what bends velocity space is the composition of velocities. Of two negative curvatures, one vanishes when stopped and the other does not (Section 5).

Keywords: rotating disk, Gaussian curvature, Ehrenfest paradox, metric of a rotating frame, velocity space, hyperbolic geometry

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1027/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1027 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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