YOI 1040：動く光源の明るさに現れる 4 乗は、立体角の d−1 とエネルギーの 1 と間隔の 1 の和である

論文1040 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1040 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860896）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1040,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Fourth Power in the Brightness of a Moving Source Is d−1 from Solid Angle Plus 1 from Energy Plus 1 from Arrival Spacing},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1040},
  doi = {10.5281/zenodo.22860896},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

動く光源は、前方で明るく見える。その明るさはドップラー因子の 4 乗で効くと言われる。本稿は、その 4 を三つに割る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。4 は一つの数ではなく、三つの数え上げの和である。立体角の変換で d−1、光子ごとのエネルギーで 1、届く間隔で 1。空間が d 次元なら明るさの冪は d+1 で、d＝3 のとき 4 になる（第2節から第4節）。

第二に、立体角の冪 d−1 は、光行差の写像の微分そのものである。cosθ＝(cosθ’+β)/(1+βcosθ’) を微分すると 1/D²、正弦の比は 1/D、二つを組むと立体角の比は 1/D^(d−1) になる。d＝2・3・4 の五つの向きで、数値微分との差は 10 の −10 乗以下であった（第2節）。

第三に、乱数もそう答える。β＝0.5 で等方に出した光子 40 万個のうち前方（cosθ>0）に入る割合は、d＝2・3・4 で $\mathbf{0.666237500}$・$\mathbf{0.750195000}$・$\mathbf{0.804135000}$ であった。冪 d−1 の式（$\mathbf{0.666666667}$・$\mathbf{0.750000000}$・$\mathbf{0.804498891}$）と 4σ 以内で合い、冪を一つ違えた式とは 10σ より離れる（第2節）。

第四に、半分の光子が入る角は、sin θ＝1/γ の角である。arccos β と arcsin(1/γ) は同じ角で、β＝0.5 で $\mathbf{60.000000000}$ 度、β＝0.9 で $\mathbf{25.841932763}$ 度、β＝0.99 で $\mathbf{8.109614456}$ 度になる。どの次元でもこの角の内側に光子の半分が入る（第3節）。

第五に、d＝3 の全天平均は閉じた形を持つ、∫D⁴dΩ/4π は $\mathbf{1.444444444452}$ で、γ²(1+β²/3) と 10 の −11 乗で一致した（β＝0.5）。単位振動数あたりなら冪は 3 で平均 $\mathbf{1.154700538383}$、単位波長あたりなら 5 で $\mathbf{1.924500897314}$ である（第5節）。

第六に、分離子は、何あたりで数えるかである。同じ一つの現象が、単位立体角あたりなら 2 乗、エネルギーを入れて 3 乗、間隔を入れて 4 乗、単位振動数あたりなら 3 乗、単位波長あたりなら 5 乗になる。冪は現象の持ち物ではなく、数え方の持ち物である（第6節）。

キーワード：相対論的ビーミング、光行差、ドップラー因子、立体角、次元、宇宙背景放射の双極

Abstract

A moving source looks brighter ahead.That brightness is said to go as the fourth power of the Doppler factor.This paper splits the four into three.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. Four is not one number but the sum of three separate countings、d−1 from the transformation of solid angle, 1 from the energy of each photon, 1 from the arrival spacing. In d spatial dimensions the brightness exponent is d+1, which is 4 when d＝3(Sections 2 to 4).

Second, the solid-angle exponent d−1 is the derivative of the aberration map itself、differentiating cosθ＝(cosθ’+β)/(1+βcosθ’) gives 1/D², the ratio of sines is 1/D, and together the ratio of solid angles is 1/D raised to d−1. Against numerical differentiation at five directions in d＝2, 3 and 4 the difference is below 10 to the minus 10(Section 2).

Third, random photons give the same answer、of 400000 photons emitted isotropically at β＝0.5, the fraction landing forward (cosθ>0) is $\mathbf{0.666237500}$, $\mathbf{0.750195000}$ and $\mathbf{0.804135000}$ for d＝2, 3 and 4. These agree within 4σ with the exponent d−1 ($\mathbf{0.666666667}$, $\mathbf{0.750000000}$, $\mathbf{0.804498891}$) and lie more than 10σ from the neighbouring exponents(Section 2).

Fourth, half the photons fall inside the angle where sin θ＝1/γ、arccos β and arcsin(1/γ) are the same angle: $\mathbf{60.000000000}$ degrees at β＝0.5, $\mathbf{25.841932763}$ at 0.9 and $\mathbf{8.109614456}$ at 0.99. In every dimension half the photons lie inside it(Section 3).

Fifth, the all-sky mean in d＝3 has a closed form、∫D⁴dΩ/4π is $\mathbf{1.444444444452}$, agreeing with γ²(1+β²/3) to 10 to the minus 11 at β＝0.5. Per unit frequency the exponent is 3, with mean $\mathbf{1.154700538383}$; per unit wavelength it is 5, with mean $\mathbf{1.924500897314}$(Section 5).

Sixth, the separator is what the counting is per、one and the same phenomenon goes as the square per unit solid angle, the cube with energy, the fourth power with spacing, the cube per unit frequency and the fifth power per unit wavelength. The exponent belongs to the counting, not to the phenomenon(Section 6).

Keywords: relativistic beaming, aberration, Doppler factor, solid angle, dimension, cosmic microwave background dipole

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1040/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1040 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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