YOI 1041：順序だけに切り詰めても、対の割合から次元が読め、最長の鎖が固有時になる

論文1041 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1041 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22860945）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1041,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Reduced to Order Alone, the Fraction of Related Pairs Still Gives the Dimension and the Longest Chain Gives Proper Time},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1041},
  doi = {10.5281/zenodo.22860945},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

時空から長さも時間も取り去り、「どちらが先か」という順序だけを残す。本稿は、そこから何が読めて何が読めないかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。順序だけで次元が読める。因果ダイヤモンドに 1200 点を撒き、前後関係にある対の割合を数えると、2・3・4 次元で $\mathbf{0.499642479844}$・$\mathbf{0.227827587805}$・$\mathbf{0.099355852099}$ となった（標準誤差は $\mathbf{0.001391357911}$・$\mathbf{0.001105522973}$・$\mathbf{0.000783958515}$）。式の値 $\mathbf{0.500000000000}$・$\mathbf{0.228571428571}$・$\mathbf{0.100000000000}$ と 4σ 以内で合い、隣の次元の式とは 10σ より離れる（第3節）。

第二に、割合を逆に解けば次元が出てくる。読んだ次元は $\mathbf{2.000953678}$・$\mathbf{3.004029042}$・$\mathbf{4.007677109}$ で、真の値と 0.01 以内であった。撒く点の数を 300 から 2400 まで変えても割合は動かない（2400 点で $\mathbf{0.226927157149}$）（第3節）。

第三に、割合はブーストで動かず、引き伸ばしで動く。同じ点の集まりをローレンツ変換にかけると、β＝0.3 でも 0.8 でも割合は一桁も変わらなかった（差は厳密に 0）。時間方向に 2 倍引き伸ばすと $\mathbf{0.480535043805}$ から $\mathbf{0.719702753442}$ へ動く。順序が測っているのは、伸び縮みを許す構造である（第4節）。

第四に、最長の鎖が固有時の物差しになる。2 次元で点 10000 個のとき最長の鎖は $\mathbf{192.750000}$ で、有限の大きさの補正を入れた見込み $\mathbf{191.779282}$ と比 $\mathbf{1.005061642}$、2 の平方根の法則に乗る。これは乱数の並びの最長増加部分列（ウラムの問題）と同じ法則である（第5節）。

第五に、まっすぐな道がいちばん長い。光円錐座標 (0.8, 0.2) を経由する折れた道では鎖は $\mathbf{150.700000}$ で、まっすぐの $\mathbf{0.781841764}$ 倍であった。その道の固有時の比は 0.8 で、補正つきの見込み $\mathbf{0.770871072}$ とも合う。双子の逆理が、点の個数だけで出てくる（第5節）。

第六に、分離子は、順序か、個数かである。順序だけでは尺度が決まらない。点の密度を 4 倍にすれば 2 次元の鎖は 2 倍になり、d 次元では点の数の d 分の 1 乗で伸びる（d＝3 で 16 倍にすると $\mathbf{2.519842100}$ 倍）。論文111 が「残るのはスケール」と書いた場所に、個数が入る（第6節）。

キーワード：因果集合、半順序、次元、固有時、最長増加部分列、共形構造

Abstract

Strip a spacetime of length and of time, leaving only which event comes first.This paper counts what can still be read from that, and what cannot.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. Order alone gives the dimension、sprinkling 1200 points into a causal diamond and counting the fraction of pairs that are causally related gives $\mathbf{0.499642479844}$, $\mathbf{0.227827587805}$ and $\mathbf{0.099355852099}$ in 2, 3 and 4 dimensions (standard errors $\mathbf{0.001391357911}$, $\mathbf{0.001105522973}$ and $\mathbf{0.000783958515}$). These lie within 4σ of the formula values $\mathbf{0.500000000000}$, $\mathbf{0.228571428571}$ and $\mathbf{0.100000000000}$, and more than 10σ from the neighbouring dimensions(Section 3).

Second, solving the fraction backwards returns the dimension、the values read off are $\mathbf{2.000953678}$, $\mathbf{3.004029042}$ and $\mathbf{4.007677109}$, within 0.01 of the true ones. Changing the number of points from 300 to 2400 leaves the fraction where it was ($\mathbf{0.226927157149}$ at 2400)(Section 3).

Third, the fraction does not move under a boost and does move under a stretch、Lorentz transforming the same set of points at β＝0.3 or 0.8 changes not one digit (the difference is exactly zero). Stretching by a factor two in time moves it from $\mathbf{0.480535043805}$ to $\mathbf{0.719702753442}$. What order measures is a structure that allows stretching(Section 4).

Fourth, the longest chain is a ruler for proper time、in two dimensions with 10000 points the longest chain is $\mathbf{192.750000}$, a ratio of $\mathbf{1.005061642}$ to the finite-size prediction $\mathbf{191.779282}$, and it follows the square-root law with coefficient two. That is the same law as for the longest increasing subsequence of a random permutation, Ulam’s problem(Section 5).

Fifth, the straight path is the longest、on a path bent through the null coordinates (0.8, 0.2) the chain is $\mathbf{150.700000}$, that is $\mathbf{0.781841764}$ of the straight one, while the proper time along that path is 0.8 of the straight one, and the finite-size prediction is $\mathbf{0.770871072}$. The twin paradox comes out of counting points alone(Section 5).

Sixth, the separator is order or number、order alone fixes no scale. Quadrupling the density of points doubles the chain in two dimensions, and in d dimensions the chain grows as the number of points to the power one over d (a factor $\mathbf{2.519842100}$ for sixteen times as many points when d＝3). Where Paper 111 wrote that what remains is the scale, the number of points goes in(Section 6).

Keywords: causal set, partial order, dimension, proper time, longest increasing subsequence, conformal structure

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1041/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1041 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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