YOI 1053：「拡大しても同じ」を一つの倍率に弱めると、指数の唯一性は失われる

論文1053 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1053 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22904428）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1053,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Weakening Scale Invariance to a Single Ratio Loses the Uniqueness of the Exponent},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1053},
  doi = {10.5281/zenodo.22904428},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「スケールを持たないことを要求すると、指数が一意に決まる」という形は、体系に何度も現れてきた。本稿が問うのは、その要求を弱めたら何が残るのかである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。要求の強さで答えが変わる。どんな倍率でも成り立てと言えば解は冪だけで、指数は一意に決まる。ところが倍率を一つに限ると、冪に対数の周期関数を掛けたものがすべて通り、解は無限にある（第2節・第3節）。

第二に、連続の側は実際に一つである。殻の質量が半径によらない指数を 0 から 6 まで 0.1 刻みで探すと、残るのは 2 次元で 1.0、3 次元で 2.0、4 次元で 3.0 のちょうど一つずつである。冪はどの倍率でも相対誤差 $\mathbf{1.371}$×10⁻¹⁶ で通る（第2節）。

第三に、離散の側は無限である。倍率を一つに固定すると、掛ける周期関数の振幅を 0 から 0.9 まで変えても、周期の数を 1 倍 2 倍 3 倍にしても、相対誤差は 1e-15 以下で全部通る。同じものを別の倍率 2 で試すと $\mathbf{0.529710}$ で通らない（第3節）。

第四に、では離散の側で何が一つに決まるのか（指数ではなく、比のほうである）ペンローズのタイルの置換行列（跡 3・行列式 1）の固有値は $\mathbf{2.618033989}$ と $\mathbf{0.381966011}$ で、二種類のタイルの個数の比は出発点を六通りに変えても $\mathbf{1.618033989}$ に落ちる。比 1 を入れると一回で $\mathbf{1.500000000}$ に動く（第4節）。

第五に、全方向の平均を真似る力は、五回対称のほうが強い。有限個の方向で立体角全体の平均をどこまで再現できるかを測ると、正二十面体は 12 点で強さ 5、立方体は 8 点で強さ 3 である。四次の平均は厳密が 0.2 のところ、立方体が $\mathbf{0.111111111111}$、正二十面体が $\mathbf{0.200000000000}$ である（第5節）。

第六に、二つの一意性は別の根から来る。殻の指数は次元で動き、タイルの比は置換規則で動く。置換規則を替えると比は $\mathbf{1.618033989}$ のまま固有値だけが変わる。分離子は、拡大の倍率が連続か、一つだけかである（第6節）。

キーワード：スケール不変性、一意性、ペロン＝フロベニウス、準結晶、球面デザイン、別根

Abstract

The form “demand that there be no scale and the exponent is fixed” has appeared many times in this body of work.This paper asks what survives when that demand is weakened.No new theorem and no new law is claimed.

First, and this is the core. The answer changes with the strength of the demand、demand that it hold for every ratio and the solutions are powers alone, with a unique exponent. Restrict the demand to a single ratio and everything multiplied by a periodic function of the logarithm passes, so the solutions are infinite in number（Sections 2 and 3）。

Second, on the continuous side there really is only one、searching from 0 to 6 in steps of 0.1 for the exponent that makes a shell’s mass independent of the radius leaves exactly one in each dimension: 1.0 in two, 2.0 in three, 3.0 in four. A power passes at every ratio to a relative error of $\mathbf{1.371}$×10⁻¹⁶（Section 2）。

Third, on the discrete side there are infinitely many、with the ratio fixed, varying the amplitude of the periodic factor from 0 to 0.9 and its number of periods by factors of one, two and three, all pass to within 1e-15. The same function tried at another ratio, 2, fails by $\mathbf{0.529710}$（Section 3）。

Fourth, what then is unique on the discrete side is not the exponent but a ratio of counts、the substitution matrix of the Penrose tiling (trace 3, determinant 1) has eigenvalues $\mathbf{2.618033989}$ and $\mathbf{0.381966011}$, and the ratio of the two kinds of tile falls to $\mathbf{1.618033989}$ from all six starting points tried. Feeding in a ratio of 1 moves it in one step to $\mathbf{1.500000000}$（Section 4）。

Fifth, five-fold symmetry is better at imitating the average over all directions、measuring how far a finite set of directions reproduces the average over the whole solid angle, the icosahedron reaches strength 5 with 12 points while the cube reaches 3 with 8. At fourth order, against an exact value of 0.2, the cube gives $\mathbf{0.111111111111}$ and the icosahedron $\mathbf{0.200000000000}$（Section 5）。

Sixth, the two uniquenesses come from different roots、the shell exponent moves with dimension and the tile ratio with the substitution rule. Changing the rule leaves the ratio at $\mathbf{1.618033989}$ while the eigenvalue changes. The separator is whether the ratio of enlargement is continuous or single（Section 6）。

Keywords: scale invariance, uniqueness, Perron-Frobenius, quasicrystals, spherical designs, distinct roots

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1053/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1053 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ