YOI 1060：一つの倍率しか持たない系では、比だけが決まって位置は決まらない

論文1060 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1060 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22915151）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi1060,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {In a System with Only One Scale Factor, the Ratio Is Determined but the Position Is Not},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1060},
  doi = {10.5281/zenodo.22915151},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文1053 は、拡大しても同じという要求を一つの倍率に弱めると指数の唯一性が失われ、代わりに一意になるのは比のほうだと示した。ただし、その射程注記は対数周期の因子が実在の系で見えるとは言わないと書き、物理の側を空けた。本稿はそこに一つ置く。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、一つの倍率しか持たない物理の系で、その倍率を実際に出した。同じ質量の三体・到達距離ゼロの極限で立つ超越方程式を、符号が変わる区間を印字してから二分すると $\mathbf{1.006237825103}$ となり、式に入れると残りは $\mathbf{4.441}$×10⁻¹⁶ である。長さの比は $\mathbf{22.694382595}$、エネルギーの比はその二乗の $\mathbf{515.035001}$ になる（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。決まるのは比だけで、階層の絶対の位置は決まらない。位相を替えると段の位置は $\mathbf{7.300000000}$ 倍まで動くのに、隣どうしの比の散らばりは $\mathbf{0.000}$×10⁰ である。位置を決めるには、この式の外から別の入力が要る（第3節）。

第三に、対数の中でだけ周期的である。長さを比の二乗だけ倍すると値はぴたりと戻る（差 $\mathbf{0.000}$×10⁰）が、比の一乗では $\mathbf{2.000000000}$ まで離れる。連続な拡大に対しては対称でなく、一つの倍率に対してだけ対称である（第4節）。

第四に、比を決めているのは、その方程式の係数である。係数を $4.000000$ から $6.000000$ まで動かすと、長さの比は $\mathbf{33.006464}$、$\mathbf{22.694383}$、$\mathbf{19.129043}$、$\mathbf{13.814519}$ と単調に減る（第5節）。

第五に、論文1053 の比とは別根である。1053 が置換行列から出した $\mathbf{2.618033989}$ を独立に再現したうえで、置換行列を替えるとタイルの比だけが $\mathbf{1.618033989}$ に動いて三体の比は動かず、方程式の係数を替えると三体の比だけが $\mathbf{13.814519}$ に動いてタイルの比は動かない。逆向きに盲目である（第6節）。

第六に、正直に書く。段はすぐ尽きる。比が大きいので、長さが 100 万倍あっても入る段は $\mathbf{4.425045}$ しかない。無限の階層は理想の極限の話である（第7節）。

キーワード：離散スケール不変性、対数周期、三体の束縛状態、超越方程式、ペロン=フロベニウス、階層

Abstract

Paper 1053 showed that weakening the requirement of scale invariance to a single ratio loses the uniqueness of the exponent, and that what becomes unique instead is the ratio.Its scope note, however, said that it does not claim log-periodic factors are seen in real systems, leaving the physical side open.This paper places one example there.No new theorem or law is claimed.

First, the scale factor of a physical system with only one of them was actually obtained、bisecting the transcendental equation that holds for three equal masses in the zero-range limit, after printing the values to find where the sign changes, gives $\mathbf{1.006237825103}$, with a residual of $\mathbf{4.441}$×10⁻¹⁶. The ratio of lengths is $\mathbf{22.694382595}$ and the ratio of energies is its square, $\mathbf{515.035001}$(Section 2).

Second, and this is the core. Only the ratio is determined; the absolute position of the hierarchy is not、changing the phase moves the rungs by as much as $\mathbf{7.300000000}$, while the spread of neighbouring ratios is $\mathbf{0.000}$×10⁰. Fixing the position requires one more input from outside this equation(Section 3).

Third, periodicity holds only inside the logarithm、multiplying the length by the square of the ratio returns the value exactly (difference $\mathbf{0.000}$×10⁰), while the first power departs by $\mathbf{2.000000000}$. There is no symmetry under continuous dilation, only under one factor(Section 4).

Fourth, what sets the ratio is the coefficient of that equation、moving the coefficient from $4.000000$ to $6.000000$ makes the length ratio fall monotonically through $\mathbf{33.006464}$, $\mathbf{22.694383}$, $\mathbf{19.129043}$ and $\mathbf{13.814519}$(Section 5).

Fifth, this ratio and the ratio of Paper 1053 do not share a root、after reproducing independently the $\mathbf{2.618033989}$ that 1053 obtained from a substitution matrix, changing that matrix moves only the tiling ratio, to $\mathbf{1.618033989}$, leaving the three-body ratio untouched; changing the coefficient moves only the three-body ratio, to $\mathbf{13.814519}$, leaving the tiling ratio untouched. Each is blind in the direction the other sees(Section 6).

Sixth, stated plainly. The rungs run out quickly、the ratio is large, so even a span of a million in length admits only $\mathbf{4.425045}$ rungs. An infinite hierarchy belongs to the ideal limit(Section 7).

Keywords: discrete scale invariance, log-periodicity, three-body bound states, transcendental equation, Perron-Frobenius, hierarchy

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1060/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1060 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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