Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文144 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/144 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22082585）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文144】指数は、何が保存しているかの署名である

@misc{yamagishi2026yoi144,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Exponent Is the Signature of What Is Conserved},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/144},
  doi = {10.5281/zenodo.22082585},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

一様な媒質の中で解き放たれたエネルギーが作る衝撃波は、半径が時間の $2/5$ 乗で広がる。超新星残骸の観測で日常的に使われる法則である。本稿は、この指数がどこから来て、どこから来ていないかを書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、指数は次元とともに動く。$R=E^at^b\rho^c$ の次元方程式を $d$ 次元で解くと $R\propto(Et^2/\rho)^{1/(d+2)}$、すなわち $R\propto t^{2/(d+2)}$ である（本稿で記号計算）。$d=1$ で $2/3$、$2$ で $1/2$、$3$ で $2/5$、$4$ で $1/3$。$2/5$ は自然定数ではなく、指数についての連立一次方程式の解である（論文28・117）（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。指数は「何が保存しているか」の署名である。エネルギーが保存すれば $t^{2/(d+2)}$、運動量が保存すれば $t^{1/(d+1)}$、三次元では $2/5$ 対 $1/4$ である。本稿では閉じた形の局所対数傾きを計算し、$t=10^8$ で$0.40000000$ と $0.25000000$ に収束することを確認した。放射で熱が逃げると、衝撃波は $2/5$ の法則を離れて運動量保存の側に移る。指数は、爆発の性質ではなく保存則の署名である（第3節）。

第三に、次元解析は $\gamma$ を見ることができない。変数は $R,E,t,\rho$ の四つ、次元は $M,L,T$ の三つだから、無次元量はちょうど一つ、すなわち未定の定数もちょうど一つである。そして比熱比 $\gamma$ はすでに無次元だから、次元解析には最初から見えない。関係は $R\,(\rho/(Et^2))^{1/(d+2)}=C(\gamma)$ となり、$C(\gamma)$ は自己相似方程式を解かなければ出ない（第4節）。

第四に、ゆえにここでも三つの層がある。形（次元解析・強制）／$C(\gamma)$（自己相似解・計算）／$\gamma$（媒質・入力）。論文140・141 と同じ形である（第5節）。

第五に、指数が次元解析から出ない自己相似もある。収束衝撃波のような第二種の自己相似では、指数は次元解析では決まらず、解が特異点を滑らかに通る条件（固有値問題）が決める。「自己相似」という一語が、指数の出所の違う二つを指している（論文117）（第6節）。

Abstract

A shock driven by energy released into a uniform medium expands with its radius growing as the two-fifths power of time. It is the law used daily on supernova remnants. This paper writes where that exponent comes from, and where it does not. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the exponent moves with the dimension. Solving the dimensional equations for $R=E^at^b\rho^c$ in $d$ dimensions gives $R\propto(Et^2/\rho)^{1/(d+2)}$, that is $R\propto t^{2/(d+2)}$ (computed here symbolically): $2/3$ at $d=1$, $1/2$ at $2$, $2/5$ at $3$, $1/3$ at $4$. The $2/5$ is not a constant of nature but the solution of a linear system in the exponents (Papers 28, 117) (Section 2).

Second, and this is the core. The exponent is the signature of what is conserved. Conserved energy gives $t^{2/(d+2)}$ and conserved momentum gives $t^{1/(d+1)}$、in three dimensions, $2/5$ against $1/4$. Computing the local logarithmic slope in closed form, this paper finds convergence to $0.40000000$ and $0.25000000$ by $t=10^8$. When radiation carries the heat away, the shock leaves the $2/5$ law and joins the momentum-conserving one. The exponent is not a property of the explosion but a signature of the conservation law (Section 3).

Third, dimensional analysis cannot see $\gamma$. There are four variables, $R,E,t,\rho$, and three dimensions, $M,L,T$, so there is exactly one dimensionless group and hence exactly one undetermined constant. And the adiabatic index $\gamma$ is already dimensionless, so dimensional analysis never sees it at all. The relation reads $R\,(\rho/(Et^2))^{1/(d+2)}=C(\gamma)$, and $C(\gamma)$ comes only from solving the self-similar equations (Section 4).

Fourth, so there are again three layers: the form (dimensional analysis, forced), $C(\gamma)$ (the self-similar solution, computed), and $\gamma$ (the medium, an input). The same shape as Papers 140 and 141 (Section 5).

Fifth, there is also self-similarity whose exponent does not come from dimensional analysis. For problems such as an imploding shock（self-similarity of the second kind）the exponent is fixed instead by the condition that the solution pass smoothly through a singular point, an eigenvalue problem. One word, “self-similar”, covers two different origins of the exponent (Paper 117) (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/144/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/144 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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