Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文146 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/146 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22082868）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文146】ディラックの弦は、一枚の紙で書こうとした跡である

@misc{yamagishi2026yoi146,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Dirac String Is the Mark of Trying to Write It on One Sheet},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/146},
  doi = {10.5281/zenodo.22082868},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文138 は、$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ が恒等式ではなく法則である理由を「その場が回転であることに失敗しうるか」に置いた。本稿はその失敗に名前と住所を与える。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、ディラックの弦は場の性質ではなく、書き方の跡である。$A_N=g(1-\cos\theta)\,d\varphi$ は南極を除いて滑らか、$A_S=-g(1+\cos\theta)\,d\varphi$ は北極を除いて滑らかであり、本稿ではどちらも同じ場の強さを与えることを確認した。二枚に分けて書けば、弦はどこにも現れない。弦は「一枚で書く」と決めたことの帰結である（第2節）。

第二に、重なりでの差はチェックの1-コチェインである。$A_N-A_S=2g\,d\varphi$、すなわち $\chi=2g\varphi$。これが二枚の被覆のただ一つの重なりに付いた数であり、束そのものである（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。貼り合わせが閉じることが、電荷の量子化である。赤道を一周すると位相は $4\pi eg/\hbar$ だけ変わる。一価であるためにはこれが $2\pi$ の整数倍でなければならず、$2eg/\hbar=n$、ディラックの量子化条件である（本稿で確認）。量子化は力学の帰結ではなく、遷移関数が閉じるという貼り合わせの条件である（第4節）。

第四に、不変量は整数であって $4\pi$ ではない。球面上での場の積分は $4\pi g$ である。その $4\pi$ は $\mathrm{Vol}(S^2)$（論文128）。一方チャーン数は $(1/2\pi)\int F=2eg/\hbar=n$ であり、こちらが不変量である。$4\pi$ は生成元の正規化、$n$ は類（第5節）。

第五に、層の見方が入るのはここである。束の同型類は $H^1(M,\underline{U(1)})\cong H^2(M,\mathbb{Z})$ で分類される（指数列 $0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{R}\to U(1)\to0$）。$M=S^2$ でこれは $\mathbb{Z}$ であり、上で出た整数がその元である。層は「局所の資料と重なりでの一致」の記帳法であり、内容は貼り合わせの失敗を測るコホモロジーである（第6節）。

Abstract

Paper 138 placed the reason $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ is a law rather than an identity in whether the field can fail to be a curl. This paper gives that failure a name and an address. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the Dirac string is not a property of the field but the mark of how it was written. $A_N=g(1-\cos\theta)\,d\varphi$ is smooth except at the south pole and $A_S=-g(1+\cos\theta)\,d\varphi$ smooth except at the north, and this paper confirms that both give the same field strength. Write it on two sheets and no string appears anywhere. The string is a consequence of having decided to use one sheet (Section 2).

Second, the difference on the overlap is a Čech 1-cochain. $A_N-A_S=2g\,d\varphi$, that is $\chi=2g\varphi$. This is one datum attached to the single overlap of a two-patch cover, and it is the bundle (Section 3).

Third, and this is the core. That the gluing closes up is the quantisation of charge. Going once around the equator the phase changes by $4\pi eg/\hbar$; single-valuedness requires this to be a multiple of $2\pi$, giving $2eg/\hbar=n$, Dirac’s condition (verified here). The quantisation is not a consequence of dynamics but a condition on gluing (Section 4).

Fourth, the invariant is the integer, not the $4\pi$. The integral of the field over the sphere is $4\pi g$, and that $4\pi$ is $\mathrm{Vol}(S^2)$ (Paper 128). The Chern number, meanwhile, is $(1/2\pi)\int F=2eg/\hbar=n$, and that is the invariant. The $4\pi$ is the normalisation of the generator; $n$ is the class (Section 5).

Fifth, this is where the sheaf viewpoint enters. Isomorphism classes of bundles are classified by $H^1(M,\underline{U(1)})\cong H^2(M,\mathbb{Z})$, the isomorphism coming from the exponential sequence $0\to\mathbb{Z}\to\mathbb{R}\to U(1)\to0$. For $M=S^2$ this group is $\mathbb{Z}$, and its element is the integer found above. The sheaf is the bookkeeping of local data agreeing on overlaps; the content is the cohomology measuring the failure to glue (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/146/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/146 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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