Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文148 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/148 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22083237）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文148】ε²=0 は環の定義であり、(dW)²=dt は道の事実である

@misc{yamagishi2026yoi148,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {ε²=0 Is a Definition of a Ring and (dW)²=dt Is a Fact About a Path},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/148},
  doi = {10.5281/zenodo.22083237},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

グロタンディークの移り方の一つは、「点」を対象の中の要素ではなく試験対象からの射として読み直したことであった。本稿はその「点」を点呼し、体系がすでに持っている区別と突き合わせる。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、点の個数は、体を言わないと決まらない。$x^2+1$ が $\mathbb{F}_p[x]$ に切り出す閉点は、$p$ によって一個にも二個にもなるが、次数の総和は常に $2$ である（本稿で $p\le 29$ について計算）。個数は体に依り、総次数は依らない（第2節）。

第二に、零集合が同じでも環は違う。$V(x)$ と $V(x^2)$ は同じ点集合を持ち、環の長さは $1$ と $2$ である。重複度は点の個数ではなく環の長さである。冪零元を捨てるとベズーの $2$ には住む場所がない（第3節）。

第三に、肥った点は接ベクトルであり、特異点を見る。$k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ からの射を数えると、滑らかな点では条件が一本残って次元 $1$、結節点と尖点では条件が消えて次元 $2$ になる（本稿で計算）。曲線は一次元なのに、接空間が二次元である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。$\varepsilon^2=0$ と $(dW)^2=dt$ は別の根を持つ。前者は環の定義であって動かせない。後者は道についての事実であって、粗さを動かすと動く。$H$ を $0.2$ から $0.8$ まで動かすと二次和は $95.7$ から $0.0092$ まで動き、有限で非零なのは $H=1/2$ だけである（本稿でコレスキーにより厳密生成、$n^{1-2H}$ と一致）（第5節）。

第五に、伊藤の項は、双対数が捨てる項そのものである。$d(W^2)$ を通常の連鎖律で書けば $2W\,dW$、真実は $2W\,dW+dt$ であり、差は $T$ に収束する（本稿で $n=10^7$ まで計算）。捨ててよいかどうかを決めるのは、環の定義ではなく道の粗さである（第6節）。

Abstract

One of Grothendieck’s moves was to reread a “point” not as an element inside an object but as a morphism from a test object. This paper calls the roll on that word and sets it against distinctions the corpus already holds. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, how many points there are has no answer until one names the field. The closed points that $x^2+1$ cuts out in $\mathbb{F}_p[x]$ number one or two according to $p$, while the total degree is always $2$ (computed here for $p\le 29$). The count depends on the field and the total degree does not (Section 2).

Second, the same zero set can carry different rings. $V(x)$ and $V(x^2)$ have the same points and lengths $1$ and $2$. Multiplicity is the length of a ring, not a number of points、discard the nilpotents and Bézout’s $2$ has nowhere to live (Section 3).

Third, a fat point is a tangent vector, and it sees singularity. Counting morphisms from $k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ leaves one linear condition and dimension $1$ at a smooth point, and no condition at all, dimension $2$, at a node and at a cusp (computed here). The curve is one-dimensional and the tangent space is two-dimensional (Section 4).

Fourth, and this is the core. $\varepsilon^2=0$ and $(dW)^2=dt$ have different roots. The first is a definition of a ring and cannot be moved. The second is a fact about a path and moves when the roughness moves、taking $H$ from $0.2$ to $0.8$ takes the quadratic sum from $95.7$ to $0.0092$, and only $H=1/2$ leaves it finite and nonzero (generated exactly here by Cholesky, matching $n^{1-2H}$) (Section 5).

Fifth, the Itô term is exactly the term the dual numbers discard. The ordinary chain rule gives $d(W^2)=2W\,dW$ where the truth is $2W\,dW+dt$, and the gap converges to $T$ (computed here to $n=10^7$). What decides whether it may be discarded is not the definition of a ring but the roughness of the path (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/148/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/148 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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