Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文171 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/171 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22094287）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文171】最小二乗を囲っている柵は、正規分布ではなく線形性である

@misc{yamagishi2026yoi171,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Fence around Least Squares Is Linearity, Not Normality},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/171},
  doi = {10.5281/zenodo.22094287},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文157 は「最小二乗の $2$ は仮定した誤差則である」と書いた。本稿はもう一つの柵に立つ、ガウスは同じ問題に二度答えており、二度目（$1821$）は分布を一つも仮定しない。それでも「最良」には柵がある。正規性ではなく線形性である。新しい数学定理は主張しない。

第一に、ガウスは一人で二つの定理を持つ。$1809$ は「算術平均が最良である」と仮定して誤差則が正規だと導き、$1821$ は平均・等分散・無相関だけを仮定して最小分散を導く（第2節）。

第二に、ガウス＝マルコフを直に検算した。和が $1$ の重みを $200000$ 通り乱数で試して、$1/n=0.0909090909$ を下回るものは一つも無かった。最良でも $0.0919952051$。この節では分布を一度も使っていない（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。分散が有限でガウス＝マルコフが完全に成り立つ場面（自由度 $5$ の $t$ 分布）でも、線形性を捨てれば平均に勝てる。刈り込み平均で $0.8385$ 倍、フーバー推定で $0.8434$ 倍（第4節）。

第四に、しかし線形性を破れば勝てる、のではない。同じ場面で中央値は負ける（$1.0467$ 倍）、線形の外へ出ることは必要であって十分ではない（第4節）。

第五に、不偏と有効は別根である。分散が不揃い（$\sigma_i^2=i$）のとき、素の平均も逆分散重みもどちらも不偏で、分散は $1.65$ 倍違う（第5節）。

Abstract

Paper 157 wrote that the $2$ in least squares is an assumed error law. This paper stands at the other fence、Gauss answered the same question twice, and the second answer ($1821$) assumes no distribution at all. And “best” is still fenced、by linearity, not by normality. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, Gauss is one person with two theorems. The $1809$ argument assumes that the arithmetic mean is best and deduces that the error law is normal; the $1821$ argument assumes only zero mean, equal variance and no correlation, and deduces minimum variance (Section 2).

Second, Gauss–Markov was verified directly. Among $200000$ random weight vectors summing to $1$, not one fell below $1/n=0.0909090909$、the best was $0.0919952051$. No distribution was used anywhere in that section (Section 3).

Third, and this is the core. Even where the variance is finite and Gauss–Markov holds in full (a $t$ distribution with $5$ degrees of freedom), dropping linearity beats the mean、$0.8385$ times its error for the trimmed mean and $0.8434$ for the Huber estimator (Section 4).

Fourth, yet “nonlinear therefore better” is false. In the same setting the median loses ($1.0467$ times)、leaving the linear class is necessary and not sufficient (Section 4).

Fifth, unbiasedness and efficiency have distinct roots. With unequal variances ($\sigma_i^2=i$) the plain mean and the inverse-variance weighting are both unbiased and differ in variance by $1.65$ times (Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/171/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/171 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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