Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文180 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/180 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22099046）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文180】「古典極限」は一つの極限ではない

@misc{yamagishi2026yoi180,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“The Classical Limit” Is Not One Limit},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/180},
  doi = {10.5281/zenodo.22099046},
  note = {Preprint, edition 1}
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日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文113 は「量子力学は古典力学の $\hbar$ による変形であり、$\hbar\to0$ で古典代数に戻る」と書いた。それは構造についての言明である。本稿は隣の問いを立てる。では振る舞いは戻るのか。二つは別の文であり、後者には答えが複数ある。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、方程式。$\langle V'(x)\rangle=V'(\langle x\rangle)$ が厳密なのは $V$ が二次までのときだけである。三次では隔たりが $\sigma^2$、四次では $3\mu\sigma^2$ ちょうどであった（第2節）。

第二に、スペクトル。水素で $n\to n-1$ の振動数と古典の公転振動数の比は $3.0$、$1.40625$、$1.0015020025$ と近づき、近づき方は $1+3/(2n)$ である。この比に $\hbar$ は一度も現れない。これは「$\hbar$ が小さい」ではなく「量子数が大きい」という別の文である（第3節）。

第三に、波動関数。同じボーア＝ゾンマーフェルトの処方が、調和振動子ではどの $n$ でも厳密（誤差 $0$）、四次では厳密でなく $n$ とともに $1.8\times10^{-1}$ から $2.2\times10^{-5}$ へ改善する（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。$\hbar\to0$ と $t\to\infty$ は交換しない。時刻を $t=2$ に固定すると差は $0.1762\to0.1050\to0.0581\to0.0307$ と $\hbar$ に比例して消える。ところが $\hbar=0.1$ に固定して待つと、振れ幅は $1.5$ から $0.000195$ へ潰れ、$t=199.85$ で $0.664$ へ戻ってきた。古典軌道は $1.4986$ から一度も動いていない（第5節）。

第五に、それでも存続時間は有限である。$8.16\to10.64\to14.28\to19.20$ と伸びるが、伸び方は $\hbar^{-0.41}$ の冪則にとどまる（第6節）。

Abstract

Paper 113 wrote that quantum mechanics is a deformation of classical mechanics by $\hbar$, and that $\hbar\to0$ returns the classical algebra. That is a statement about structures. This paper asks the neighbouring question、does the behaviour return? They are different sentences, and the second has several answers. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the equations. $\langle V'(x)\rangle=V'(\langle x\rangle)$ is exact only for $V$ at most quadratic. At cubic order the gap is $\sigma^2$ and at quartic order exactly $3\mu\sigma^2$ (Section 2).

Second, the spectrum. In hydrogen the ratio of the $n\to n-1$ frequency to the classical orbital frequency runs $3.0$, $1.40625$, $1.0015020025$, approaching $1$ like $1+3/(2n)$. Not once does $\hbar$ appear in that ratio、this is a statement about large quantum number, not about small $\hbar$ (Section 3).

Third, the wavefunction. The same Bohr–Sommerfeld recipe is exact at every $n$ for the oscillator (error $0$) and never exact for the quartic, improving from $1.8\times10^{-1}$ to $2.2\times10^{-5}$ with $n$ (Section 4).

Fourth, and this is the core. The limits $\hbar\to0$ and $t\to\infty$ do not commute. Holding $t=2$, the difference dies with $\hbar$: $0.1762\to0.1050\to0.0581\to0.0307$. Holding $\hbar=0.1$ and waiting, the swing collapses from $1.5$ to $0.000195$ and then comes back to $0.664$ at $t=199.85$、while the classical orbit has not moved from $1.4986$ (Section 5).

Fifth, the survival time is finite all the same. It grows $8.16\to10.64\to14.28\to19.20$, and only as a power law, near $\hbar^{-0.41}$ (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/180/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/180 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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