Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文182 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/182 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22104170）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文182】「次元の呪い」は一つの呪いではない

@misc{yamagishi2026yoi182,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“The Curse of Dimensionality” Is Not One Curse},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/182},
  doi = {10.5281/zenodo.22104170},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

本体系は論文01 以来 $\mathrm{Vol}(S^{d-1})$ を書き続けてきた。ところがその立体角が測っている球の体積が、次元とともに消えてしまうことは、一度も書かれていない。本稿はそこを開ける。そして「次元の呪い」という一語が、原因の違う複数のことを指していること、しかもそのうち最も鋭いものは呪いではないことを見る。新しい数学定理は主張しない。

第一に、単位球の体積は $d=5$ で最大となり、そこから落ちる。$d=100$ で $2.37\times10^{-40}$ である（第2節）。

第二に、体積がどこへ行ったかは二つの別の話である。一つの物体の中では質量が薄い皮に集まり（$d=1000$ で厚さ $0.01$ の皮に $0.99996$）、二つの物体を比べると球が立方体に完全に負ける（$d=100$ で $1.87\times10^{-70}$）（第3節）。

第三に、無作為な二方向はほとんど直交する。余弦の絶対値の平均は $d=1000$ で $0.0252$ であり、$\sqrt{2/(\pi d)}=0.0252$ と一致した（第4節）。

第四に、人が「呪い」と呼ぶのはこれである。最近傍と最遠傍の距離の相対差は $d=1000$ で $0.113$ まで潰れ、「最も近い」が何も選ばなくなる（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。その集中を裏から読むと恵みになる。$1000$ 次元の $300$ 点を $100$ 次元へ無作為に射影しても、$44850$ 組すべての距離が平均 $5.5\%$ しか動かない。呪いと恵みは同じ定理であり、分かれ目は関数に変わってほしかったかどうかだけである（第6節）。

第六に、柵は「何の周りに集中するのか」である。$d$ 個の標準正規変数の最大値は集中するが、集中する先は $d$ とともに増え続ける（第7節）。

Abstract

This corpus has been writing $\mathrm{Vol}(S^{d-1})$ since Paper 01. It has never once remarked that the ball this solid angle measures vanishes as the dimension grows. This paper opens that、and finds that the phrase “curse of dimensionality” covers several things with different causes, of which the sharpest is not a curse at all. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the volume of the unit ball peaks at $d=5$ and falls thereafter, reaching $2.37\times10^{-40}$ at $d=100$ (Section 2).

Second, where the volume went is two separate statements. Within one body the mass gathers in a thin skin ($0.99996$ of it within $0.01$ of the surface at $d=1000$); between two bodies the ball loses to the cube outright ($1.87\times10^{-70}$ at $d=100$) (Section 3).

Third, two random directions are nearly orthogonal. The mean absolute cosine is $0.0252$ at $d=1000$, matching $\sqrt{2/(\pi d)}=0.0252$ (Section 4).

Fourth, this is what people mean by the curse. The relative gap between the nearest and the farthest point collapses to $0.113$ at $d=1000$, so “nearest” stops selecting anything (Section 5).

Fifth, and this is the core. Read the other way, that same concentration is the blessing. Projecting $300$ points from $1000$ dimensions down to $100$ at random moves all $44850$ pairwise distances by $5.5\%$ on average、the curse and the blessing are the same theorem, and what separates them is only whether you wanted the function to vary (Section 6).

Sixth, the fence is what the concentration is around. The maximum of $d$ standard gaussians does concentrate, but around a value that keeps growing (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/182/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/182 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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