Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文206 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/206 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22110637）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文206】空間は近づいても、次元は近づかない

@misc{yamagishi2026yoi206,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Spaces Converge and the Dimension Does Not},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/206},
  doi = {10.5281/zenodo.22110637},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

空間の列が一つの空間に近づいていくとき、その次元は近づかない。本稿は、細い円筒が線分に近づく列でこれを測り、次元という量が極限で連続でないことを整数の数え上げで示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、空間はたしかに近づく。半径 $\varepsilon$ の円筒と、その芯の線分との隔たりは $\varepsilon$ であり、面積 $2\pi\varepsilon$ も零へ行く。一方、長さは $1$ のまま動かない（第2節）。

第二に、それでも次元は $2$ のままである。周長より細かい目盛りで数えた指数は、$\varepsilon=0.2$ から $0.0005$ まで $1.9650$、$1.9799$、$1.9843$、$1.9852$、$1.9814$ である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。同じ集合が、目盛りによって別の次元を答える。半径 $0.01$ の円筒に問うと、目盛り $0.3$ では $1.0965$、$0.1$ では $0.8505$、$0.02$ では $2.0435$、$0.002$ では $1.9371$、「この集合の次元は何か」という問いは、目盛りを言うまで答を持たない（第4節）。

第四に、落ち幅は潰した方向の数で決まる。円筒とトーラス $(1,\varepsilon)$ は $1$ 落ち、トーラス $(\varepsilon,\varepsilon)$ と箱 $(1,\varepsilon,\varepsilon)$ は $2$ 落ちる。測った指数は $1.9853$、$1.9858$、$1.9717$、$2.9716$ である（第5節）。

第五に、最初の数え方は失敗した。点で標本を取って周囲の空間に格子を置く方法は、格子のずれで傾きが三周期に振動し、細かい目盛りでは標本が尽きて $2$ のはずが $1.5$ を返した（第6節）。

Abstract

When a sequence of spaces approaches one space, the dimension does not approach anything. This paper measures that on a sequence of thin cylinders approaching a segment, and shows by integer counting that dimension is not continuous in the limit. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the spaces really do converge. A cylinder of radius $\varepsilon$ stands $\varepsilon$ from the segment at its core, and its area $2\pi\varepsilon$ goes to zero with it、while its length never moves from $1$ (Section 2).

Second, the dimension stays at $2$ regardless. Fitted below the circumference, the exponent runs $1.9650$, $1.9799$, $1.9843$, $1.9852$, $1.9814$ as $\varepsilon$ falls from $0.2$ to $0.0005$ (Section 3).

Third, this is the core. One and the same set returns a different dimension at a different scale. Asked of a cylinder of radius $0.01$, the exponent is $1.0965$ at scale $0.3$, $0.8505$ at $0.1$, $2.0435$ at $0.02$ and $1.9371$ at $0.002$、the question “what is the dimension of this set” has no answer until the scale is named (Section 4).

Fourth, how far it drops is set by how many directions were squeezed. A cylinder and a torus $(1,\varepsilon)$ drop by one, while a torus $(\varepsilon,\varepsilon)$ and a box $(1,\varepsilon,\varepsilon)$ drop by two、the measured exponents are $1.9853$, $1.9858$, $1.9717$ and $2.9716$ (Section 5).

Fifth,the first way of counting failed. Sampling the surface with points and laying a grid on the surrounding space made the slope oscillate with period three from the grid offset, and at fine scales the sample ran out and returned $1.5169$ where it should have returned $2$ (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/206/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/206 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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