Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文212 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/212 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22112104）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文212】どんな地図も、必ず何かを歪める

@misc{yamagishi2026yoi212,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Every Map Must Distort Something},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/212},
  doi = {10.5281/zenodo.22112104},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

球面を平面に写す地図は、角度か面積か、少なくとも一方を必ず捨てる。本稿はその「必ず」を数で書き、捨てさせているものが一つの数であることを示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、メルカトルは角度を完全に守り、面積を捨てる。面積の倍率は緯度 $45^\circ$ で $2.0$、$60^\circ$ で $4.0$、$85^\circ$ で $\mathbf{131.6}$ になる（第2節）。

第二に、ランベルトは面積を完全に守り、角度を捨てる。面積倍率は全緯度で $1$（誤差 $1.15\times10^{-41}$）だが、角の歪みは $60^\circ$ で $\mathbf{73.74^\circ}$、$85^\circ$ で $160.08^\circ$ に達する（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。三つの地図それぞれの座標で球面の計量を書き、その計量だけからガウス曲率を計算すると、三つとも、どの点でも、正確に $1$であった。見た目のまったく違う三つの計量が、同じ一つの数を返す（第4節）。

第四に、円筒は零を返す。ゆえに紙は円筒にも円錐にも一切伸ばさずに巻けるが、球面には決してならない（第5節）。

第五に、小さければ困らない。半径 $1\,\mathrm{km}$ の地図の面積誤差は $5.08\times10^{-7}\,\%$、$111\,\mathrm{km}$ で $0.00508\,\%$、しかし半球では $\mathbf{57.08\,\%}$ である（第6節）。

Abstract

A map carrying the sphere to the plane must give up angle or area, or both. This paper writes that “must” in numbers and shows that what forces the sacrifice is a single number. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, Mercator keeps every angle exactly and gives up area. The area scale is $2.0$ at latitude $45^\circ$, $4.0$ at $60^\circ$ and $\mathbf{131.6}$ at $85^\circ$ (Section 2).

Second, Lambert keeps every area exactly and gives up angle. The area scale is one at every latitude, to within $1.15\times10^{-41}$, while the angular deformation reaches $\mathbf{73.74^\circ}$ at $60^\circ$ and $160.08^\circ$ at $85^\circ$ (Section 3).

Third, this is the core. Writing the metric of the sphere in the coordinates of each of the three maps and computing the Gaussian curvature from that metric alone gave exactly one, in all three, at every point、three metrics that look nothing alike return the same single number (Section 4).

Fourth, a cylinder returns zero. That is why paper can be rolled into a cylinder or a cone without any stretching at all, and never into a sphere (Section 5).

Fifth, small maps do not suffer. The area error of a map one kilometre across is $5.08\times10^{-7}\,\%$, and $0.00508\,\%$ at $111$ kilometres, but $\mathbf{57.08\,\%}$ for a hemisphere (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/212/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/212 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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