論文225 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/225 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22120991）。
本文はサイトの記事でも読めます：【論文225】一つの球から、同じ大きさの球が二つできる
日付の証拠（OpenTimestamps）：日本語版の .ots・英語版の .ots・SHA256SUMS
予備の置き場所（ミラー。中身は上と同じです）：PDF 日本語・PDF English・SHA256SUMS
住所：https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/225・DOI 10.5281/zenodo.22120991・CC BY 4.0・プレプリント（査読を経ていません）・ORCID 0009-0006-8587-3450
引用するとき
山岸勇輝 (2026). 一つの球から、同じ大きさの球が二つできる [論文225]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/225 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22120991
Yamagishi, Y. (2026). One Ball Becomes Two of the Same Size [Paper 225]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/225; DOI: 10.5281/zenodo.22120991
@misc{yamagishi2026yoi225,
author = {Yamagishi, Yuuki},
title = {One Ball Becomes Two of the Same Size},
year = {2026},
howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/225},
doi = {10.5281/zenodo.22120991},
note = {Preprint, edition 1}
}
指紋（SHA-256）と確かめ方
8dc4c06fc1f5b0366d52be815c340b5c8540d3d8a3dade7d2df615cf0fcafcd2 yamagishi_yoi225_v1_jp.pdf4f78cd38441591bc71e77eaddb21019d5bd8addf97b4550103374c34e20afdc6 yamagishi_yoi225_v1_en.pdfPDF と .ots を同じ場所に保存し、opentimestamps.org に .ots、続けて PDF を落とすと、記録された日時が表示されます。PDF が 1 バイトでも変わっていれば通りません。
日付の証拠（OpenTimestamps）
2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。
書誌
| 題名 | 一つの球から、同じ大きさの球が二つできる |
|---|---|
| Title | One Ball Becomes Two of the Same Size |
| 著者 | 山岸 勇輝 (Yuuki YAMAGISHI)・ORCID 0009-0006-8587-3450 |
| 所属 | 山岸複雑性トーラス研究所 (Yamagishi Complexity Torus Lab, Japan) |
| 版 | 第1版（2026年8月） |
| 言語 | 日本語・英語 |
| 種別 | プレプリント（査読を経ていません） |
| ライセンス | CC BY 4.0（出典を示せば、複製・再配布・改変ができます） |
| YOI | https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/225 |
| DOI（Zenodo） | 10.5281/zenodo.22120991 |
要旨
球を有限個に分け、回して並べ直すだけで、同じ大きさの球が二つできる。本稿は、この主張の計算できる部分をすべて実際に計算し、何がそれを許しているのかを数で示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。
第一に、二つの回転が自由群を生む。$\arccos(1/3)=1.230959417340775$ だけ回す二つの回転について、$354{,}292$ 語を厳密な整数演算で確かめると、どれ一つ単位元にならなかった（第3節）。
第二に、理由はただ一つの素数である。点を $(a,\,b\sqrt2,\,c)/3^n$ の形で持つと、$b$ は $3$ で割り切れることが一度もない。$118{,}098$ 語で $b \bmod 3$ は $1$ か $2$ のみであった（第4節）。
第三に、四つに分けると二つに組み直せる。長さ $9$ までの $39365$ 語は単位元＋四つの $9841$ 語にちょうど分かれ、そのうち二つを一度ずつ動かすだけで全体が復元した。欠けは $\mathbf{0}$ である（第5節）。
第四に、これが本稿の芯である。集合をずらしたときはみ出す割合は、直線では $0.0002$、平面では $0.01$ へ落ちていくのに、自由群では落ちず $1$ に上がる（第6節）。
第五に、だから駒は体積を持てない。もし持てば $V=2V$ すなわち $V=0$ となり、$4\pi/3=4.1887902048$ に矛盾する（第7節）。
Abstract
A ball can be cut into finitely many pieces and, by rotating and rearranging them alone, made into two balls of the same size. This paper computes every computable part of that claim and shows in numbers what it is that permits it. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.
First, two rotations generate a free group. For two rotations through $\arccos(1/3)=1.230959417340775$, checking $354{,}292$ words in exact integer arithmetic found not one of them equal to the identity (Section 3).
Second, the reason is a single prime. Keeping a point as $(a,\,b\sqrt2,\,c)/3^n$, $b$ is never once divisible by $3$、over $118{,}098$ words, $b \bmod 3$ took only the values $1$ and $2$ (Section 4).
Third, four pieces rebuild the whole thing twice. The $39365$ words of length at most $9$ split exactly into the identity and four sets of $9841$, and moving two of them once each restores the whole、with $\mathbf{0}$ missing (Section 5).
Fourth, this is the core. The share of a set displaced by one move falls to $0.0002$ on a line and $0.01$ in a plane, and in the free group it does not fall at all but rises towards $1$ (Section 6).
Fifth, the pieces therefore cannot have volumes. Were they to have any, $V=2V$ and so $V=0$, contradicting $4\pi/3=4.1887902048$ (Section 7).
版の記録
ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/225/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/225 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。