Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文226 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/226 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22121247）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文226】裏返して戻ってくる面にも、面積はある

@misc{yamagishi2026yoi226,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Surface That Comes Back Inside Out Still Has an Area},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/226},
  doi = {10.5281/zenodo.22121247},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

メビウスの帯には表と裏が無い。それでも面積はきちんとある。本稿は、何が壊れて何が壊れないかを数で分ける。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、法線は裏返って戻る。中心線を一周させると、始めと終わりの内積は$-1.000000000000$であった。刻みを $200$、$2000$、$20000$ と変えても同じである（第2節）。

第二に、それでも面積はある。網を細かくすると $25.4022$、$25.4124$、$25.4130433381$、$25.4130750300$ と一つの数に落ち着く（第3節）。

第三に、二周すれば戻る。二重被覆では内積は $\mathbf{+1.000000000000}$、面積はちょうど二倍である。向きは失われたのではなく、下では使えないだけである（第4節）。

第四に、閉じた一方向曲面でも総曲率は生きている。四次元に置いたクラインの壺（$V=384$、$E=1152$、$F=768$）で角の欠損の総和は $0$であり、面の向きは決して揃えられなかった（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。射影平面（$V=6$、$E=15$、$F=10$、$\chi=1$）では総和は $\mathbf{6.283185307180=2\pi}$ であり、一方向なのに総和はゼロでない。しかも総和は $2\pi V-\pi F$、すなわち座標を選ぶ前に数え上げだけで決まっている（第7節）。

Abstract

A Möbius band has no front and no back. And it has an area all the same. This paper separates in numbers what breaks from what does not. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the normal comes back reversed. Carried once round the centre line, the beginning and the end have an inner product of $-1.000000000000$、the same at $200$, $2000$ and $20000$ steps (Section 2).

Second, the area is there all the same. Refining the mesh gives $25.4022$, $25.4124$, $25.4130433381$ and $25.4130750300$, settling on one number (Section 3).

Third, going round twice restores it. On the double cover the inner product is $\mathbf{+1.000000000000}$ and the area is exactly twice、orientation was not lost but is unavailable downstairs (Section 4).

Fourth, the total curvature lives on a closed one-sided surface. On a Klein bottle in four dimensions ($V=384$, $E=1152$, $F=768$) the angular defects total $0$ while the faces could never be oriented consistently (Section 5).

Fifth, this is the core. On the projective plane ($V=6$, $E=15$, $F=10$, $\chi=1$) the total is $\mathbf{6.283185307180=2\pi}$, one-sided and not zero、and the total equals $2\pi V-\pi F$, settled by counting before any coordinates are chosen (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/226/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/226 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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