Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文23 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/23 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22090231）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文23】曲率を一定にしても、密度は決まらない

@misc{yamagishi2026yoi23,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Making the Curvature Constant Does Not Fix the Density},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/23},
  doi = {10.5281/zenodo.22090231},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文111 は光が計量の十成分のうち九つしか決めないことを書き、論文150 はその残る一つが密度であると突き止めた。では、幾何の側からその一つを決められるか。山辺の定理は「共形類の中にスカラー曲率が定数の計量が存在する」と言う。本稿はその定理に、決められることと決められないことを書き分けさせる。新しい数学定理は主張しない。

第一に、共形ラプラシアンは共形共変である。平坦計量を $u^{4/(n-2)}$ 倍したときのスカラー曲率が $-\frac{4(n-1)}{n-2}u^{-(n+2)/(n-2)}\Delta u$ に一致することを、記号計算で恒等的にゼロまで確かめた（$n=3,\dots,7$ でも個別に確認）（第2節）。

第二に、指数は臨界指数であり、$n=2$ は問題の外にある。非線形項の指数 $\frac{n+2}{n-2}$ はソボレフ埋め込みが緊密性を失うちょうどその位置にある。$n=2$ では分母が消え、これは別の問題（ガウス＝ボンネ）になる（第3節）。

第三に、球面の山辺不変量の中に、体系の二つの数が座っている。$\mathrm{Vol}(S^n)$ は $n=2$ で $4\pi$、$n=3$ で $2\pi^2$ である。後者は論文46 が「$16\pi^2$ のうち唯一の幾何」と同定した $\Omega_3$ そのものである（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。定曲率を課しても、密度は決まらない。球面上の解は族をなす。$u_\lambda=(\lambda/(\lambda^2+r^2))^{(n-2)/2}$ から作る計量のスカラー曲率は、$n=3,4,5,6$ でそれぞれ 24, 48, 80, 120 という定数になり、$r$ にも $\lambda$ にも依らない（本稿で計算）。$\lambda$ を動かせば計量は動くのに、曲率は動かない（第5節）。

第五に、柵は山辺不変量の符号である。負またはゼロなら解は定数倍を除いて一意、正なら一意とは限らない（球面が実例）。分離子は「球面かどうか」ではなく、不変量の符号である（第6節）。そして山辺は一人で二つの定理を持つ、論文90 のグリーソン＝ヤマベと、本稿の山辺問題である（第7節）。

Abstract

Paper 111 wrote that light fixes only nine of the ten components of a metric, and Paper 150 identified the remaining one as a density. Can geometry fix that one? Yamabe’s theorem says that every conformal class contains a metric of constant scalar curvature. This paper makes that theorem say what it can and cannot settle. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the conformal Laplacian really is conformally covariant. That the scalar curvature of the flat metric scaled by $u^{4/(n-2)}$ equals $-\frac{4(n-1)}{n-2}u^{-(n+2)/(n-2)}\Delta u$ was checked symbolically to an identically vanishing difference, and again separately for $n=3,\dots,7$ (Section 2).

Second, the exponent is the critical one, and $n=2$ lies outside. The exponent $\frac{n+2}{n-2}$ sits exactly where the Sobolev embedding loses compactness. At $n=2$ the denominator vanishes and the question becomes a different one (Gauss–Bonnet) (Section 3).

Third, two of the corpus’s numbers sit inside the Yamabe invariant of the sphere. $\mathrm{Vol}(S^n)$ is $4\pi$ at $n=2$ and $2\pi^2$ at $n=3$、the latter being exactly the $\Omega_3$ that Paper 46 identified as the only geometric part of $16\pi^2$ (Section 4).

Fourth, and this is the core. Imposing constant curvature does not fix the density. On the sphere the solutions come in a family. The metric built from $u_\lambda=(\lambda/(\lambda^2+r^2))^{(n-2)/2}$ has scalar curvature 24, 48, 80, 120 at $n=3,4,5,6$, depending on neither $r$ nor $\lambda$ (computed here). Moving $\lambda$ moves the metric while the curvature stays put (Section 5).

Fifth, the fence is the sign of the Yamabe invariant. Negative or zero and the solution is unique up to scale; positive and it need not be (the sphere being the example). The separator is not whether the manifold is a sphere but the sign of one number (Section 6). And Yamabe holds two theorems: the Gleason–Yamabe theorem of Paper 90, and the Yamabe problem here (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/23/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/23 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ