Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文239 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/239 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22129461）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文239】「発散する」は四つあり、そのうち一つは別の距離で収束する

@misc{yamagishi2026yoi239,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Diverges” Is Four Things, and One of Them Converges in Another Metric},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/239},
  doi = {10.5281/zenodo.22129461},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「発散する」という一語が、少なくとも四つの別の状態を指している。本稿はそれを数で分け、最後の一つが「距離の選び方」に相対的であることを示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、有界に振動する発散。$1-1+1-1+\cdots$ の部分和は $1,0,1,0$ を繰り返すが、チェザロ平均は $0.500000000000$、アーベル和も $x\to1$ で $0.50000025$ へ行き、二つは一致する（第2節）。

第二に、非有界に振動する発散。$1-2+3-4+\cdots$ では $(C,1)$ が奇数番で $0.500025001$、偶数番で $0$ を取り続けて収束しない。$(C,2)$ は $0.250139673$、アーベルは $0.250025001875$ でどちらも $1/4$（第3節）。

第三に、収束半径が零の発散。オイラー級数は $x=0.1$ で $11$ 項目まで $0.09158192$ に寄り、$26$ 項目で $-0.0195940911$ まで飛ぶ、ボレル和 $0.091563333939788081876$ は、元の微分方程式を残差 $8.11\times10^{-19}$ で満たす（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。$1+2+4+8+\cdots$ の部分和は、実数の距離では $-1$ から $4.0\to2.048\times10^{3}\to2.199\times10^{12}$ と離れていくが、$2$ 進距離では $0.25\to4.88\times10^{-4}\to4.55\times10^{-13}$ と $-1$ へ収束する（第5節）。

第五に、これが柵である。$1+2+3+\cdots$ に対しては、アーベルが $999000$、$(C,1)$ が $6.6677\times10^{7}$、$(C,2)$ が $2.2229\times10^{7}$ と三つとも無限大へ走る。したがって $-1/12$ はどの総和法も返していない（第6節）。

Abstract

One word, “diverges”, names at least four different states. This paper separates them in numbers and shows that the last is relative to the choice of metric. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, bounded oscillation. The partial sums of $1-1+1-1+\cdots$ run $1,0,1,0$, and the Cesàro average gives $0.500000000000$ while the Abel sum reaches $0.50000025$: the two agree (Section 2).

Second, unbounded oscillation. For $1-2+3-4+\cdots$, $(C,1)$ sits at $0.500025001$ at odd $n$ and at $0$ at even $n$ and never settles、$(C,2)$ gives $0.250139673$ and Abel $0.250025001875$, both $1/4$ (Section 3).

Third, radius of convergence zero. At $x=0.1$ the Euler series approaches $0.09158192$ by the eleventh term and flies out to $-0.0195940911$ by the twenty-sixth、and its Borel sum $0.091563333939788081876$ satisfies the original differential equation to a residual of $8.11\times10^{-19}$ (Section 4).

Fourth, and this is the core. The partial sums of $1+2+4+8+\cdots$ run away from $-1$ in the real metric, $4.0\to2.048\times10^{3}\to2.199\times10^{12}$, and converge to $-1$ in the $2$-adic metric, $0.25\to4.88\times10^{-4}\to4.55\times10^{-13}$ (Section 5).

Fifth, and this is the fence. On $1+2+3+\cdots$, Abel gives $999000$, $(C,1)$ gives $6.6677\times10^{7}$ and $(C,2)$ gives $2.2229\times10^{7}$: all three run to infinity、so $-1/12$ is not what any summation method returns (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/239/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/239 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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