Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文242 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/242 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22159594）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文242】「0 で割ってはいけない」は一つの禁止ではない

@misc{yamagishi2026yoi242,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Do Not Divide by Zero Is Not One Prohibition},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/242},
  doi = {10.5281/zenodo.22159594},
  note = {Preprint, edition 2}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文229 は「割り算が戻らない五つの妨げ」を数えた。本稿はその手前の一語を問う。「0 で割ってはいけない」という禁止は、一つの禁止なのか。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、$2=1$ の偽証明は 0 で二回割っている。中央の等式 $(a+b)(a-b)=b(a-b)$ は $200000$ 組の乱数で差が $\mathbf{0}$ の恒等式であり、情報を持たない（第2節）。

第二に、0 でなくても約分できない。$\mathbb{Z}/6$ で $2\cdot 1=2\cdot 4$ なのに $1\neq 4$ であり、消去律を破る三つ組は $\mathbb{Z}/6$ で $\mathbf{24}$ 組、$\mathbb{Z}/12$ で $\mathbf{204}$ 組ある。$\mathbb{Z}/100$ では $0$ でない元の $\mathbf{59.60\%}$ が約分に使えない（第3節）。

第三に、射影直線では $1/0$ が定義される。半径 $10^{-6}$ のどの方向から近づいても $|1/z|$ の散らばりは $\mathbf{3.49\times 10^{-10}}$ であり、割れないのは $0/0$ のほうである（第4節）。

第四に、解析では $0/0$ が経路に依存する。同じ「$0/0$」の形が $1$、$0.5$、$+\infty$、$0$ を返す（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。同じ一本の大円の、二つの近傍が違う答を返す。等幅の帯では $\mathbf{0.3364}$、くさび形では $\mathbf{0.5048}$：極限は $1/3$ と $1/2$ に分かれる（第6節）。

第六に、浮動小数点では割り算が全域で定義されている。$+0.0 = -0.0$ が真のまま、逆数は $+\infty$ と $-\infty$ に分かれる（第7節）。

第七に、$2=1$ が健全になる環がちょうど一つある。零環である（第8節）。

Abstract

Paper 229 counted five obstructions that keep division from undoing multiplication.This paper opens the word that sits one step earlier: is the prohibition do not divide by zero a single prohibition?No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, the fake proof of $2=1$ divides by zero twice.The middle equation $(a+b)(a-b)=b(a-b)$ is an identity whose two sides differ by $\mathbf{0}$ across $200000$ random draws. It carries no information(Section 2).

Second, cancellation can fail at a nonzero element.In $\mathbb{Z}/6$ we have $2\cdot 1=2\cdot 4$ while $1\neq 4$, and the triples violating cancellation number $\mathbf{24}$ in $\mathbb{Z}/6$ and $\mathbf{204}$ in $\mathbb{Z}/12$: in $\mathbb{Z}/100$, $\mathbf{59.60\%}$ of the nonzero elements cannot be cancelled(Section 3).

Third, on the projective line $1/0$ is defined.Approaching along $12$ directions at radius $10^{-6}$, the spread of $|1/z|$ is $\mathbf{3.49\times 10^{-10}}$. What fails is $0/0$(Section 4).

Fourth, in analysis $0/0$ depends on the path.The same shape returns $1$, $0.5$, $+\infty$ and $0$(Section 5).

Fifth, this is the core of the paper.Two neighbourhoods of one and the same great circle return different answers.The constant-width band gives $\mathbf{0.3364}$ and the wedge gives $\mathbf{0.5048}$: the limits separate into $1/3$ and $1/2$(Section 6).

Sixth, in floating point the division is total.$+0.0=-0.0$ holds while the reciprocals separate into $+\infty$ and $-\infty$(Section 7).

Seventh, there is exactly one ring in which $2=1$ is sound: the zero ring(Section 8).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第2版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/242/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/242 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ