Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文277 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/277 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22170180）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文277】残響時間の 0.161 の中に、立体角が隠れている

@misc{yamagishi2026yoi277,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Solid Angle Is Hidden inside the 0.161 of the Reverberation Time},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/277},
  doi = {10.5281/zenodo.22170180},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

セービンの式 $T_{60}=0.161 V/(S\alpha)$ は、音響学のどの教科書にも出てくる。本稿が問うのは、その $0.161$ はどこから来たのかである。答は、立体角である。平均自由行程 $4V/S$ の $4$ は、$4\pi$ を $\pi$ で割った数であった。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、$0.161$ を分解する。$60$ dB 落ちるのに要る反射回数は $6\ln10/\alpha$、一回あたりの時間は $4V/(cS)$、掛けると $24\ln10\cdot V/(cS\alpha)$ になる（第2節）。

第二に、$24\ln10=\mathbf{55.262042}$ である。これを音速 $343$ で割ると $\mathbf{0.161114}$、教科書の $0.161$ はこの数である（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。$4V/S$ の $\mathbf{4}$ は、全立体角 $4\pi$ を、$\cos$ を掛けて半球で積分した $\pi$ で割った数である。数値積分で $\mathbf{4.0000000000}$ が出る（第3節）。

第四に、同じ $4$ が気体分子運動論にも立つ。壁への衝突率 $nv/4$ の $4$ と同じものである（第3節）。

第五に、$4$ を消すと式が壊れる。$10\times8\times3$ m の部屋で $T_{60}$ が $\mathbf{0.7214}$ 秒から $0.1804$ 秒になる。$4$ 倍ずれる（第4節）。

第六に、$0.161$ は定数ではない。$0^\circ$C なら $\mathbf{0.166804}$、$40^\circ$C なら $\mathbf{0.155712}$、音速が入っているからである（第5節）。

Abstract

Sabine’s formula $T_{60}=0.161 V/(S\alpha)$ appears in every textbook of acoustics.This paper asks where that $0.161$ came from、the answer is a solid angle.The $4$ in the mean free path $4V/S$ turned out to be $4\pi$ divided by $\pi$.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, take the $0.161$ apart.The number of reflections needed to fall $60$ dB is $6\ln10/\alpha$ and each takes $4V/(cS)$、their product is $24\ln10\cdot V/(cS\alpha)$(Section 2).

Second, $24\ln10=\mathbf{55.262042}$.Divided by a sound speed of $343$ this gives $\mathbf{0.161114}$、the $0.161$ of the textbooks(Section 2).

Third, this is the core of the paper.The $\mathbf{4}$ in $4V/S$ is the whole solid angle $4\pi$ divided by the $\pi$ obtained by integrating $\cos$ over a hemisphere、numerical integration returns $\mathbf{4.0000000000}$(Section 3).

Fourth, the same $4$ stands in the kinetic theory of gases.It is the same thing as the $4$ in the wall collision rate $nv/4$(Section 3).

Fifth, drop the $4$ and the formula breaks.In a room $10\times8\times3$ m the $T_{60}$ falls from $\mathbf{0.7214}$ s to $0.1804$ s、a factor of $4$(Section 4).

Sixth, the $0.161$ is not a constant.At $0^\circ$C it is $\mathbf{0.166804}$ and at $40^\circ$C it is $\mathbf{0.155712}$、because the sound speed sits inside it(Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/277/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/277 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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