Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文288 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/288 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22171328）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文288】「どれが速いか」には三つの答があり、三つとも別の方法が勝つ

@misc{yamagishi2026yoi288,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {``Which Is Fastest'' Has Three Answers, and a Different Method Wins Each},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/288},
  doi = {10.5281/zenodo.22171328},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

方程式を数値で解く方法には、ニュートン法・割線法・二分法がある。「どれが速いか」と問えば、ふつうニュートン法と答える。本稿が問うのは、「速い」の定義を変えると答が変わるかである。答は、三通りに変わるである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、実際に $x^3-2=0$ を解く。$16$ 桁に達するまで、ニュートンは $\mathbf{5}$ 回、割線法は $\mathbf{7}$ 回、二分法は $\mathbf{53}$ 回（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。関数評価の総数で数えると、割線法 $\mathbf{7}$ 個 $<$ ニュートン $\mathbf{10}$ 個、勝敗が逆転する（第3節）。

第三に、効率指数がそれを予言する。$p^{1/m}$ はニュートン $1.414214$、割線法 $\mathbf{1.618034}$、割線法が $\mathbf{14.41\%}$ 速い（第3節）。

第四に、三つ目の逆転がある。最初の一歩の桁あたり評価数では、二分法 $3.3219$ $<$ ニュートン $3.6430$（第4節）。

第五に、黄金比がここに立つ。割線法の収束次数は $p^2=p+1$ の正根 $\varphi=\mathbf{1.618034}$ である（第5節）。

第六に、分離子は「何を一単位と数えるか」である。反復か、関数評価か、微分の有無か、方法の性質ではなく、数え方の規約が答を決めている（第6節）。

Abstract

Equations are solved numerically by Newton’s method, the secant method, or bisection.Asked which is fastest, one usually answers Newton.This paper asks whether the answer changes when “fast” is redefined、it changes three ways.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, we actually solve $x^3-2=0$.To reach $16$ digits, Newton takes $\mathbf{5}$ iterations, the secant method $\mathbf{7}$, bisection $\mathbf{53}$ (Section 2).

Second, this is the core of the paper.Counted in total function evaluations, the secant method’s $\mathbf{7}$ beats Newton’s $\mathbf{10}$、the verdict reverses (Section 3).

Third, the efficiency index predicts it.$p^{1/m}$ is $1.414214$ for Newton and $\mathbf{1.618034}$ for the secant method、the secant method is $\mathbf{14.41\%}$ faster (Section 3).

Fourth, there is a third reversal.In evaluations per digit on the first step, bisection’s $3.3219$ beats Newton’s $3.6430$ (Section 4).

Fifth, the golden ratio stands here.The secant method’s order of convergence is the positive root of $p^2=p+1$, namely $\varphi=\mathbf{1.618034}$ (Section 5).

Sixth, the separator is what counts as one unit.Iterations, function evaluations, or the first step、it is the convention of counting, not a property of the methods, that decides (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/288/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/288 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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