Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文31 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/31 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22090430）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文31】次元を持たない π

@misc{yamagishi2026yoi31,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The π That Carries No Dimension},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/31},
  doi = {10.5281/zenodo.22090430},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

体系は $4\pi$ を追い続けてきた。本稿は $\pi$ そのものに同じ検査を当てる。次元 $d$ を動かしたとき、その $\pi$ は動くか。新しい数学定理は主張しない。

第一に、珍しく「同根」を確認する回である。立体角の $\pi$ とガウス積分の $\pi$ は同じ根を持つ：$\mathrm{Vol}(S^{d-1})=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ であり、$\mathbb{R}^d$ 上のガウス積分は $\pi^{d/2}$ である。$\pi^{d/2}$ を一切仮定しない再帰だけで球の体積を積分し、$d=2$ から $8$ まで一致を確認した（差は $10^{-120}$ 台）（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。ラマヌジャンの級数の $\pi$ には $d$ が無い。$1/\pi=(2\sqrt2/9801)\sum_k (4k)!\,(1103+26390k)/((k!)^4 396^{4k})$ のどこにも次元は現れず、動かすべきものが無い。体系自身の検査（次元非依存性、論文129）によれば、この $\pi$ は立体角ではない。モジュラー形式の周期である（第3節）。

第三に、桁の点呼。ライプニッツ級数は $10^6$ 項で $6$ 桁、ラマヌジャンは一項あたり約 $8$ 桁、チュドノフスキーは約 $14$ 桁である（本稿で計算）。三つとも「線形」であり、違うのは定数だけである（第4節）。

第四に、「速い」も三つの別根を持つ。ガウス＝ルジャンドル（AGM）は桁が $3,8,19,40,84,171,345$ と倍々に増える。定数が大きいのではなく、増え方の法則が違う。BBP はどちらの意味でも速くないが、$n$ 番目の十六進数字を前の $n-1$ 個なしに与える（本稿で第 $1,2,10,50,100,200$ 位を照合、全一致）（第5節）。

第五に、ブレーキ。$e^{\pi\sqrt{163}}$ は偶然でもなく、整数でもない。$640320^3+744$ との差は $7.49927\times10^{-13}$ である（本稿で計算）（第6節）。

Abstract

The corpus has followed $4\pi$ for a long time. This paper turns the same test on $\pi$ itself: when the dimension $d$ is moved, does that $\pi$ move? NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, this is one of the rare papers that confirms a shared root. The $\pi$ of a solid angle and the $\pi$ of a Gaussian have the same root: $\mathrm{Vol}(S^{d-1})=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$, and the Gaussian integral over $\mathbb{R}^d$ is $\pi^{d/2}$. Integrating the ball volumes from a recursion that assumes no $\pi^{d/2}$ anywhere reproduces the closed form for $d=2$ through $8$ (differences of order $10^{-120}$) (Section 2).

Second, and this is the core. There is no $d$ in the $\pi$ of Ramanujan’s series. No dimension appears anywhere in $1/\pi=(2\sqrt2/9801)\sum_k (4k)!\,(1103+26390k)/((k!)^4 396^{4k})$, so there is nothing to move. By the corpus’s own test (dimension-independence, Paper 129) this $\pi$ is not a solid angle、it is a period of a modular form (Section 3).

Third, a census of digits. The Leibniz series gives $6$ digits in $10^6$ terms; Ramanujan gives about $8$ digits per term and Chudnovsky about $14$ (computed here). All three are linear, and only the constant differs (Section 4).

Fourth, “fast” has three roots too. Gauss–Legendre (the AGM) reaches $3,8,19,40,84,171,345$ digits, doubling each step、not a larger constant but a different growth law. BBP is fast in neither sense, yet it gives the $n$-th hexadecimal digit without the preceding $n-1$ (positions $1,2,10,50,100,200$ all verified here) (Section 5).

Fifth, the brake. $e^{\pi\sqrt{163}}$ is neither a coincidence nor an integer. It misses $640320^3+744$ by $7.49927\times10^{-13}$ (computed here) (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/31/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/31 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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