YOI 521：ν² と T³ と固有値の個数は、同じ一つの数え上げである

論文521 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/521 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22867484）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文521】^2 と T^3 と固有値の個数は、同じ一つの数え上げである

@misc{yamagishi2026yoi521,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The ν², the T³ and the Eigenvalue Count Are One and the Same Count},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/521},
  doi = {10.5281/zenodo.22867484},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

黒体放射の $\nu^{2}$、太鼓の固有値の個数、低温比熱の $T^{3}$ は、別々の分野の別々の法則だと思われている。本稿が示すのは、三つが同じ一つの数え上げであり、違うのは掛ける重みだけであることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、辺 $\pi$ の立方体の固有値を実際に数えると、$k=80$ で $\mathbf{260485}$ 個である。ワイルの主要項 $\mathbf{268082.573}$ とは $\mathbf{2.834}$ パーセント違う（第2節）。

第二に、境界項を足すと $\mathbf{260542.751}$ になり、ずれは $\mathbf{0.022}$ パーセントに縮む、$k=10$ でも $\mathbf{410}$ 対 $\mathbf{405.789}$ で $\mathbf{1.038}$ パーセントに収まる（第2節）。

第三に、同じ数え上げに偏光 $\mathbf{2}$ を掛けると $8\pi V\nu^{3}/(3c^{3})$ が出る。数え上げの対数の傾きを測ると $\mathbf{3.000000000000}$ であり、$\nu^{2}$ の状態密度はその微分である（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。同じ数え上げにプランクの重みを掛けて比熱の指数を測ると $\mathbf{3.000000}$ になる。$T^{3}$ の $3$ は熱力学から出た数ではなく、数えている空間の次元である（第3節）。

第五に、二次元で同じことをすると指数は $\mathbf{2.000000}$ になる。境目の反対側。$3$ は定数ではない（第3節）。

第六に、分離子は重みである。重み $1$ ならワイルの法則、重み $h\nu/(e^{h\nu/kT}-1)$ ならプランク、その温度微分ならデバイ。数え上げの側は一度も変わらない（第4節）。

キーワード：ワイルの法則、固有値の数え上げ、レイリー＝ジーンズの式、デバイの T3 則、状態密度

Abstract

The $\nu^{2}$ of black-body radiation, the eigenvalue count of a drum and the $T^{3}$ of low-temperature specific heat look like three laws from three fields.What this paper shows is that they are one and the same count, and that only the attached weight differs.No new theorem or law is claimed.

First, counting the eigenvalues of a cube of side $\pi$ gives $\mathbf{260485}$ at $k=80$、Weyl’s leading term $\mathbf{268082.573}$ is off by $\mathbf{2.834}$ per cent (Section 2).

Second, adding the boundary term gives $\mathbf{260542.751}$ and the gap shrinks to $\mathbf{0.022}$ per cent、even at $k=10$ it is $\mathbf{410}$ against $\mathbf{405.789}$, within $\mathbf{1.038}$ per cent (Section 2).

Third, attaching the polarisation factor $\mathbf{2}$ to the same count yields $8\pi V\nu^{3}/(3c^{3})$、the measured logarithmic slope is $\mathbf{3.000000000000}$, and the $\nu^{2}$ density of states is simply its derivative (Section 3).

Fourth, and this is the core.Attaching Planck’s weight to the same count and measuring the low-temperature exponent gives $\mathbf{3.000000}$、the $3$ in $T^{3}$ is not a number from thermodynamics but the dimension of the space being counted (Section 3).

Fifth, repeating the procedure in two dimensions gives $\mathbf{2.000000}$、the other side of the boundary. The $3$ is not a constant (Section 3).

Sixth, the separator is the weight、weight $1$ gives Weyl’s law, $h\nu/(e^{h\nu/kT}-1)$ gives Planck, its temperature derivative gives Debye, and the counting side never changes (Section 4).

Keywords: Weyl's law, eigenvalue counting, Rayleigh-Jeans law, Debye T3 law, density of states

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/521/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/521 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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