YOI 530：同じ「比例する」でも、比例定数の身分は四つある

論文530 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/530 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014101）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文530】同じ「比例する」でも、比例定数の身分は四つある

@misc{yamagishi2026yoi530,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {One and the Same ``Proportional To'' Carries Four Different Kinds of Constant},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/530},
  doi = {10.5281/zenodo.23014101},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969428・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:42（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「$A$ は $B$ に比例する」と書くとき、前に立つ定数の身分は問われないことが多い。本稿が示すのは、その定数に四つの身分があり、動かせるものと動かせないものが混じっていることである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、定数が幾何で決まる場合がある。球の $S/V^{2/3}$ は $\mathbf{4.835976}$ で、独立に組んだ $(36\pi)^{1/3}$ と $12$ 桁一致し、立方体では $\mathbf{6.000000}$ になる（第2節）。

第二に、次元解析は定数を決めない。振り子の $T\sqrt{g/L}$ は小角で $\mathbf{6.283186}$（$2\pi=6.283185$）だが、振幅 $90$ 度では $\mathbf{7.416299}$ で、$\mathbf{1.1803}$ 倍になる（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。当てはめた定数は、当てはめる窓で動く。素数計数に冪則を当てはめると、窓 $[100,1000]$ で $\mathbf{0.827369}$、$[10^{5},10^{6}]$ で $\mathbf{0.912949}$ になる（第4節）。

第四に、それは真の姿が冪則でないからである。局所の傾きは $1-1/\ln x$ で、$x=10^{3}$ で $\mathbf{0.855235}$、$x=10^{6}$ で $\mathbf{0.927618}$ と動き続ける（第4節）。

第五に、極限値は、有限では届かない。カタラン数の係数は $n=10$ で $1/\sqrt{\pi}$ の $\mathbf{0.89780266}$ 倍、$n=10000$ でも $\mathbf{0.99988751}$ 倍で、厳密には一致しない（第5節）。

第六に、分離子は「何を動かすと定数が動くか」である。大きさか、範囲か、窓か、$n$ か。四つで動く相手が違う（第6節）。

キーワード：比例定数、次元解析、冪則、カタラン数、スケーリング

Abstract

When one writes “$A$ is proportional to $B$”, the standing of the constant in front is rarely asked about.What this paper shows is that such constants come in four kinds, some of which move when something is changed and some of which do not.No new theorem or law is claimed.

First, some constants are fixed by geometry、a sphere’s $S/V^{2/3}$ is $\mathbf{4.835976}$, agreeing with an independently assembled $(36\pi)^{1/3}$ to $12$ digits, while a cube gives $\mathbf{6.000000}$ (Section 2).

Second, dimensional analysis fixes no constant、a pendulum’s $T\sqrt{g/L}$ is $\mathbf{6.283186}$ at small amplitude, matching $2\pi=6.283185$, but $\mathbf{7.416299}$ at $90$ degrees, a factor of $\mathbf{1.1803}$ (Section 3).

Third, and this is the core.A fitted constant moves with the window it is fitted in、fitting a power law to the prime counting function gives $\mathbf{0.827369}$ on $[100,1000]$ and $\mathbf{0.912949}$ on $[10^{5},10^{6}]$ (Section 4).

Fourth, that is because the truth is not a power law、the local slope is $1-1/\ln x$, which is $\mathbf{0.855235}$ at $x=10^{3}$ and $\mathbf{0.927618}$ at $x=10^{6}$ and keeps moving (Section 4).

Fifth, a limit is never reached at finite size、the Catalan coefficient is $\mathbf{0.89780266}$ of $1/\sqrt{\pi}$ at $n=10$ and still only $\mathbf{0.99988751}$ at $n=10000$ (Section 5).

Sixth, the separator is what must be changed to move the constant、shape, or range, or window, or $n$: the four answer to different things (Section 6).

Keywords: constant of proportionality, dimensional analysis, power law, Catalan numbers, scaling

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/530/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/530 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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