YOI 586：独楽が立つか倒れるかは、回転の速さの程度ではなく、一つの閾値で決まる

論文586 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/586 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014370）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文586】独楽が立つか倒れるかは、回転の速さの程度ではなく、一つの閾値で決まる

@misc{yamagishi2026yoi586,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Whether a Top Stands or Falls Is Decided Not by How Fast It Spins but by One Threshold},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/586},
  doi = {10.5281/zenodo.23014370},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969432・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 17:55（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

速く回っている独楽は倒れない、と言われる。本稿が示すのは、独楽が真上で立っていられるかは回転の速さの程度ではなく一つの閾値で決まり、閾値の下では、どれほど小さな傾きから放しても決まった角度まで倒れ込むことである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、閾値がある。閾値は $\omega_c=2\sqrt{I_1Mgl}/I_3$ で、質量 $50$ g・半径 $2.5$ cm の円板の独楽では $\mathbf{66.848293}$ rad/s、毎分 $\mathbf{638.3542}$ 回転である（第2節）。

第二に、閾値の上では、独楽は小さく揺れるだけである。真上近くから静かに放すと、最大の傾きは放した傾きの $q/\sqrt{q^2-1}$ 倍（$q$ は閾値に対する回転の速さの比）で、$q=1.2$ で $\mathbf{1.809068}$ 倍、$q=1.01$ で $\mathbf{7.123991}$ 倍である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。閾値の下では、放した傾きをいくら小さくしても、最大の傾きは $2\cos^{-1}q$ から縮まない。$q=0.99$ で $\mathbf{16.219229}$ 度、$q=0.9$ で $\mathbf{51.683866}$ 度。運動方程式をそのまま数値で解いても、差は $2.5\times10^{-9}$ 度である（第3節）。

第四に、閾値の少し下は「倒れやすい」ではなく「倒れる」である。この独楽の円板の縁は $\mathbf{38.6598}$ 度で床に触れるので、閾値より $\mathbf{5.6372}$ パーセント遅い毎分 $\mathbf{602.3691}$ 回転で、真上から放しても縁が床に届く（第3節）。

第五に、歳差の近似式には閾値が無い。傾き $20$ 度・毎分 $3000$ 回転では、厳密な歳差は近似 $Mgl/(I_3\omega)$ の $\mathbf{1.010869}$ 倍で、良い近似である。閾値ちょうどでは厳密な歳差が近似のちょうど $\mathbf{2.000000}$ 倍になる。閾値の下の毎分 $300$ 回転でも、近似式は $3000$ 回転の $\mathbf{10.000000}$ 倍の歳差を答えるが、そのとき定常な歳差は存在しない（第4節）。

第六に、分離子は、判別式 $I_3^2\omega^2-4I_1Mgl\cos\theta$ の符号である。同じ判別式が、真上で立っていられるか（$\theta=0$）と、傾いたまま定常に歳差できるかを決める（第5節）。

キーワード：独楽、重い対称独楽、眠り独楽、安定の閾値、歳差運動

Abstract

A top that spins fast is said not to fall.What this paper shows is that whether a top can stand upright is decided not by how fast it spins but by one threshold, and that below the threshold a top released from however small a tilt falls to a definite angle.No new theorem or law is claimed.

First, there is a threshold、it is $\omega_c=2\sqrt{I_1Mgl}/I_3$, which for a top made of a disc of mass $50$ g and radius $2.5$ cm is $\mathbf{66.848293}$ rad/s, or $\mathbf{638.3542}$ revolutions per minute (Section 2).

Second, above the threshold the top only wobbles a little、released gently near the vertical, its greatest tilt is $q/\sqrt{q^2-1}$ times the initial tilt ($q$ being the spin relative to the threshold): $\mathbf{1.809068}$ times at $q=1.2$ and $\mathbf{7.123991}$ times at $q=1.01$ (Section 3).

Third, and this is the core.Below the threshold, however small the initial tilt, the greatest tilt does not shrink below $2\cos^{-1}q$、$\mathbf{16.219229}$ degrees at $q=0.99$ and $\mathbf{51.683866}$ degrees at $q=0.9$; solving the equations of motion directly agrees to $2.5\times10^{-9}$ degrees (Section 3).

Fourth, a little below the threshold means not “falls more easily” but “falls”、the rim of this top’s disc touches the floor at $\mathbf{38.6598}$ degrees, so at $\mathbf{602.3691}$ revolutions per minute, $\mathbf{5.6372}$ per cent below the threshold, the rim reaches the floor even when the top is released from the vertical (Section 3).

Fifth, the approximate formula for precession has no threshold、at a tilt of $20$ degrees and $3000$ revolutions per minute, the exact precession is $\mathbf{1.010869}$ times the approximation $Mgl/(I_3\omega)$, a good approximation; at the threshold the exact precession is exactly $\mathbf{2.000000}$ times the approximation; and at $300$ revolutions per minute, below the threshold, the formula still answers $\mathbf{10.000000}$ times the precession at $3000$, when no steady precession exists (Section 4).

Sixth, the separator is the sign of the discriminant $I_3^2\omega^2-4I_1Mgl\cos\theta$、the same discriminant decides whether the top can stand upright ($\theta=0$) and whether it can precess steadily at a tilt (Section 5).

Keywords: spinning top, heavy symmetric top, sleeping top, stability threshold, precession

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/586/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/586 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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