YOI 604：6 次のラテン方陣には、直交する相手が一つも無い

論文604 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/604 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014438）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi604,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {No Latin Square of Order Six Has an Orthogonal Mate},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/604},
  doi = {10.5281/zenodo.23014438},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

$n$ 次のラテン方陣は、$n\times n$ のます目に $n$ 種類の記号を、どの行にもどの列にも一つずつ現れるように並べたものである。二つのラテン方陣を重ねたとき、記号の組 $n^2$ 通りがすべて一度ずつ現れるなら、二つは直交するという。オイラーは、六つの連隊から六つの位の士官を一人ずつ、どの行にもどの列にも各連隊・各位が一人ずつ並ぶように立たせられるかを問うた。$6$ 次の直交する方陣の組があるかという問いである。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$6$ 次の方陣は、一行目と一列目を揃えると $9408$ 個である。揃えた方陣を作り尽くすと、$1$ 次から $6$ 次で $1,1,1,4,56,9408$ 個だった。揃える前の全数は $4$ 次で $576$、$5$ 次で $161280$ で、どちらも作り尽くして数えた値と一致した（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$6$ 次の $9408$ 個のどれにも、直交する相手が無い。相手があることは、方陣を $n$ 本の交わらない横断（どの行・どの列・どの記号からも一つずつ選んだ $n$ 個のます）に分けられることと同じである。$9408$ 個すべてで調べ、分けられる方陣は $0$ 個だった（第3節）。

第三に、小さい次数には相手がある。相手を持つ方陣は、$2$ 次で $0$ 個、$3$ 次で $1$ 個中 $1$ 個、$4$ 次で $4$ 個中 $1$ 個、$5$ 次で $56$ 個中 $6$ 個である。$3$ 次と $4$ 次は、横断で調べた答と、相手の候補を全部重ねてみる総当たりの答が、方陣ごとに一致した（第3節）。

第四に、横断が無いから相手が無いのではない。$6$ 次の方陣のうち横断を $1$ 本も持たないのは $2100$ 個（$\mathbf{0.223214}$）で、残りは $8$ 本が $7020$ 個、$24$ 本が $108$ 個、$32$ 本が $180$ 個の横断を持つ。それでも、交わらない $6$ 本には一つも分けられない（第3節）。

第五に、分離子は「偶数か」ではなく「$6$ か」である。$i+j$ を $n$ で割った余りを並べた方陣は、偶数次（$2$・$4$・$6$）で横断が $0$ 本、奇数次で $3$・$15$・$133$ 本だった。だが $4$ 次では、別の方陣（クラインの四元群の表）が横断 $8$ 本を持って相手を持つ。偶数の方陣がみな相手を持たないのではなく、$6$ 次だけが全部の方陣で相手を持たない（第4節）。

キーワード：ラテン方陣、直交ラテン方陣、三十六人の士官の問題、横断、組合せ論

Abstract

A Latin square of order $n$ places $n$ symbols in an $n\times n$ grid so that each occurs once in every row and every column.Two Latin squares are orthogonal if, when superimposed, all $n^2$ pairs of symbols occur exactly once.Euler asked whether officers of six ranks from six regiments can stand so that every row and every column holds one officer of each regiment and each rank, which is to ask whether there is an orthogonal pair of order $6$.No new theorem or law is claimed.

First, with first row and column in order, there are $9408$ squares of order $6$、constructing all such squares gives $1,1,1,4,56,9408$ for orders $1$ to $6$. The full numbers without this ordering are $576$ for order $4$ and $161280$ for order $5$, both agreeing with counts made by constructing them all (Section 2).

Second, and this is the core.None of the $9408$ squares of order $6$ has an orthogonal mate、having a mate is the same as splitting the square into $n$ disjoint transversals (sets of $n$ cells taking one from every row, every column and every symbol). All $9408$ were checked, and $0$ could be split (Section 3).

Third, smaller orders have mates、the squares with a mate number $0$ in order $2$, $1$ of $1$ in order $3$, $1$ of $4$ in order $4$ and $6$ of $56$ in order $5$. In orders $3$ and $4$ the answer by transversals and the answer by trying every candidate mate agreed square by square (Section 3).

Fourth, the lack of a mate is not a lack of transversals、of the order-$6$ squares only $2100$ ($\mathbf{0.223214}$) have no transversal; the rest have $8$ ($7020$ squares), $24$ ($108$) or $32$ ($180$). Still, none can be split into $6$ disjoint ones (Section 3).

Fifth, the separator is not “even” but “six”、the square with $i+j$ modulo $n$ in row $i$ and column $j$ has $0$ transversals in even orders ($2$, $4$, $6$) and $3$, $15$, $133$ in odd orders. But in order $4$ another square, the table of the Klein four-group, has $8$ transversals and a mate. It is not that even squares all lack mates; only order $6$ lacks a mate for every square (Section 4).

Keywords: Latin square, orthogonal Latin squares, thirty-six officers problem, transversal, combinatorics

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/604/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/604 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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