YOI 613：ビュフォンの針が線と交わる回数の期待値は、針を曲げても変わらない

論文613 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/613 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014478）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi613,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Expected Number of Crossings of Buffon's Needle Does Not Change When the Needle Is Bent},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/613},
  doi = {10.5281/zenodo.23014478},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

床に間隔 $d$ の平行線を引き、長さ $l$ の針を無造作に落とす。針が線と交わる確率を問うのが、ビュフォンの針の問題である。交わる確率と、交わる回数の期待値を、針の長さと形を変えて数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、短い針なら、交わる確率は $2l/(\pi d)$ である。$l=d$ で積分すると $0.636620$、針 $200$ 万本を乱数で落とすと $0.636781$ で、そこから逆算した $\pi$ は $3.140797$ だった（第2節）。

第二に、長い針では、確率と期待値が分かれる。$l=2d$ で交わる確率は $0.837248$、交わる回数の期待値は $2l/(\pi d)=1.273240$。$l=5d$ では確率 $0.936123$ に対し期待値 $3.183099$ である。一本の針が二本以上の線と交わるからで、期待値は長さに比例して増え続けるが、確率は $1$ を超えない（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。交わる回数の期待値は、針を曲げても変わらない。長さ $L$ の折れ線を、ばらばらの形で $10$ 万本落とすと、回数の期待値は $L=d$ で $0.635280$、$L=3d$ で $1.904310$ で、まっすぐな針の $2L/(\pi d)$ にどちらも一致した。直径 $d$ の円（長さ $\pi d$）は、どこに落ちてもちょうど $2$ 回交わる（第3節）。

第四に、分離子は、確率を問うか、期待値を問うかである。折れ線 $L=d$ の交わる確率は $0.395150$ で、まっすぐな針の $0.636620$ よりずっと小さい。確率は形で変わり、期待値は長さだけで決まる。期待値は針の小さな一片ずつの寄与の和なので、つなぎ方によらない（第3節）。

キーワード：ビュフォンの針、積分幾何、円周率の推定、バルビエの定理、幾何確率

Abstract

Parallel lines spaced $d$ apart are drawn on a floor, and a needle of length $l$ is dropped at random. Asking the chance that it crosses a line is Buffon’s needle problem.The chance of crossing and the expected number of crossings are counted as the length and shape of the needle change.No new theorem or law is claimed.

First, for a short needle the chance of crossing is $2l/(\pi d)$、for $l=d$ the integral gives $0.636620$; dropping $2$ million needles at random gives $0.636781$, from which $\pi$ comes out as $3.140797$ (Section 2).

Second, for a long needle the chance and the expectation part、for $l=2d$ the chance of crossing is $0.837248$ and the expected number of crossings $2l/(\pi d)=1.273240$; for $l=5d$ the chance is $0.936123$ against an expectation of $3.183099$. One needle crosses two or more lines, so the expectation keeps growing in proportion to the length while the chance never exceeds $1$ (Section 2).

Third, and this is the core.The expected number of crossings does not change when the needle is bent、dropping $100000$ broken lines of length $L$ in random shapes, the expected number of crossings was $0.635280$ for $L=d$ and $1.904310$ for $L=3d$, both matching the $2L/(\pi d)$ of a straight needle. A circle of diameter $d$ (length $\pi d$) crosses exactly twice wherever it falls (Section 3).

Fourth, the separator is whether one asks for the chance or for the expectation、the chance that a broken line of length $d$ crosses is $0.395150$, much smaller than the $0.636620$ of a straight needle. The chance changes with the shape; the expectation is fixed by the length alone. The expectation is the sum of the contributions of the needle’s small pieces, so it does not depend on how they are joined (Section 3).

Keywords: Buffon's needle, integral geometry, estimation of pi, Barbier's theorem, geometric probability

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/613/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/613 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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