YOI 618：凍る時間は、薄いものでは厚さに比例し、厚いものでは厚さの二乗に近づく

論文618 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/618 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014498）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi618,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Freezing Time Grows in Proportion to Thickness for Thin Pieces and Toward Its Square for Thick Ones},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/618},
  doi = {10.5281/zenodo.23014498},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

水分の多いものを冷気で凍らせるとき、凍り終わるまでの時間は、表面から冷気へ熱が移る速さと、凍った層の中を熱が伝わる速さの両方で決まる（プランクの式）。その時間が厚さでどう変わるかを、式と数値計算の二つの道筋で出す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、凍る時間は、厚さに比例する項と厚さの二乗に比例する項の和である。冷気 $-30$ ℃・熱伝達率 $20$ W/(m$^2$・K) で両面から冷やす板は、厚さ $1$ cm で $\mathbf{0.790720}$ 時間、$5$ cm で $4.305029$ 時間、$20$ cm で $22.491582$ 時間で凍る。内部の項は表面の項のビオ数の $4$ 分の $1$ 倍である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。厚さを $2$ 倍にしたときの倍率は、ビオ数で $2$ から $4$ へ移る。熱伝達率 $20$・厚さ $1$ cm（ビオ数 $0.090909$）では $2.044444$ 倍でほぼ厚さに比例し、熱伝達率 $200$・厚さ $20$ cm（ビオ数 $18.181818$）では $\mathbf{3.639344}$ 倍で二乗に近づく。薄いものは表面が、厚いものは内部が狭い通り道になる（第3節）。

第三に、数値計算は、プランクの式より少し長い。エンタルピー法で板を凍らせると、プランクの式より $1.003827$ 倍（ビオ数 $0.090909$）から $\mathbf{1.058104}$ 倍（ビオ数 $18.181818$）長かった。格子を倍にしても $0.04$ パーセントしか動かなかった（第4節）。

第四に、その差は、凍った部分を冷やす熱から来ていた。プランクの式は凍った層を $0$ ℃ より冷やす熱を入れていない。数値計算で凍った部分の比熱を十分の一にすると、差は $1.015892$ 倍から $1.001589$ 倍に、$1.058104$ 倍から $1.005827$ 倍に、ほぼ十分の一に縮んだ（第4節）。

第五に、形も効く。同じ厚さ（直径）$5$ cm なら、板 $4.305029$ 時間、円柱 $2.152515$ 時間、球 $1.435010$ 時間で、球は板の三分の一の時間で凍る（第5節）。

キーワード：凍結時間、プランクの式、ビオ数、ステファン問題、食品の冷凍

Abstract

When something watery is frozen in cold air, the time until it is fully frozen is set both by how fast heat passes from the surface to the air and by how fast it is conducted through the frozen layer (Plank’s equation).How that time changes with thickness is obtained by two routes, formula and numerical computation.No new theorem or law is claimed.

First, freezing time is the sum of a term proportional to the thickness and a term proportional to its square、a slab cooled from both sides by air at $-30$ °C with a heat-transfer coefficient of $20$ W/(m$^2$ K) freezes in $\mathbf{0.790720}$ hours at $1$ cm, $4.305029$ hours at $5$ cm and $22.491582$ hours at $20$ cm. The interior term is the Biot number over $4$ times the surface term (Section 2).

Second, and this is the core.The factor for doubling the thickness moves from $2$ to $4$ with the Biot number、for a coefficient of $20$ and $1$ cm (Biot number $0.090909$) it is $2.044444$, nearly proportional; for $200$ and $20$ cm (Biot number $18.181818$) it is $\mathbf{3.639344}$, approaching the square. For thin pieces the surface is the narrow passage, for thick ones the interior (Section 3).

Third, the numerical computation takes a little longer than Plank’s equation、freezing the slab by the enthalpy method took $1.003827$ times (Biot number $0.090909$) to $\mathbf{1.058104}$ times (Biot number $18.181818$) as long as Plank’s equation. Doubling the grid moved it by only $0.04$ per cent (Section 4).

Fourth, the difference came from the heat of cooling the frozen part、Plank’s equation leaves out the heat needed to cool the frozen layer below $0$ °C. Cutting the specific heat of the frozen part to one tenth in the computation shrank the difference from $1.015892$ to $1.001589$ and from $1.058104$ to $1.005827$, to about a tenth (Section 4).

Fifth, shape matters too、at the same thickness (diameter) of $5$ cm, a slab takes $4.305029$ hours, a cylinder $2.152515$ and a sphere $1.435010$; the sphere freezes in a third of the slab’s time (Section 5).

Keywords: freezing time, Plank's equation, Biot number, Stefan problem, food freezing

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/618/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/618 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ