YOI 626：52 枚の札は完全なシャッフル 8 回で元に戻り、乱雑なシャッフル 7 回でほぼ混ざる

論文626 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/626 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014539）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi626,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Eight Perfect Shuffles Restore 52 Cards, While Seven Random Riffles Nearly Mix Them},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/626},
  doi = {10.5281/zenodo.23014539},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

札の山を半分に分け、左右から一枚ずつ交互に重ねる切り方を完全シャッフルという。一番上の札を上に残すものをアウト、一枚目を下に入れて一番上の札を二枚目にするものをインと呼ぶ。何回で元に戻るかと、同じ切り方が乱雑なら何回で混ざるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、52 枚はアウト 8 回、イン 52 回で元に戻る。実際に切って数えると、アウトは $8$ 回、インは $52$ 回で元の並びに戻った（第2節）。

第二に、回数は $2$ の位数で決まる。アウトの回数は $2$ の冪を $n-1$ で割った余りが初めて $1$ になる回数、インは $n+1$ で割った余りの回数である。$4$ 枚から $100$ 枚の偶数枚すべてで、実際に切った回数と一致した。$50$ 枚ならアウト $21$ 回・イン $8$ 回、$64$ 枚ならアウト $6$ 回・イン $12$ 回で、枚数が一枚違うだけで大きく変わる（第2節）。

第三に、一番上の札を好きな位置へ送れる。行きたい位置を二進法で書き、上の桁から $1$ ならイン、$0$ ならアウトとすると、一番上の札を $52$ 枚の $0$ 番目から $51$ 番目のどこへでも $6$ 回以内で送れた（第3節）。

第四に、これが本稿の芯である。同じ「交互に重ねる」切り方が、完全なら元に戻り、乱雑なら混ざる。半分に分ける位置と、左右どちらから落とすかを乱雑にしたリフル（ギルバート＝シャノン＝リーズの模型）では、元の並びとの隔たり（全変動距離）が $4$ 回までは $1.000000$、$5$ 回で $0.923733$、$6$ 回で $0.613550$、$7$ 回で $\mathbf{0.334061}$、$8$ 回で $0.167159$ と下がる。完全シャッフルの $8$ 回が元の並びに戻すのと同じ回数で、乱雑なリフルはほぼ混ぜ切る（第4節）。

キーワード：完全シャッフル、ファロシャッフル、2 の位数、リフルシャッフル、札の混ざり方

Abstract

Splitting a deck in half and interleaving one card at a time from each half is a perfect shuffle. One that keeps the top card on top is an out-shuffle; one that makes the top card second is an in-shuffle.How many shuffles restore the order, and how many random riffles of the same kind mix it, are counted.No new theorem or law is claimed.

First, 52 cards return after $8$ out-shuffles or $52$ in-shuffles、shuffling and counting, $8$ out-shuffles and $52$ in-shuffles restored the order (Section 2).

Second, the count is the order of $2$、the number of out-shuffles is how many powers of $2$ it takes for the remainder on division by $n-1$ first to be $1$; for in-shuffles, on division by $n+1$. For every even deck from $4$ to $100$ cards it matched the actual shuffling. $50$ cards need $21$ out-shuffles and $8$ in-shuffles, $64$ cards $6$ and $12$: one card more or less changes the count greatly (Section 2).

Third, the top card can be sent anywhere、writing the target position in binary and doing an in-shuffle for each $1$ and an out-shuffle for each $0$ from the top digit, the top card was sent to every position $0$ to $51$ of $52$ cards within $6$ shuffles (Section 3).

Fourth, and this is the core.The same interleaving restores the order when perfect and mixes it when random、in a riffle with a random cut and random drops (the Gilbert--Shannon--Reeds model), the distance from uniform (total variation) stays $1.000000$ up to $4$ riffles, then falls to $0.923733$ at $5$, $0.613550$ at $6$, $\mathbf{0.334061}$ at $7$ and $0.167159$ at $8$. In the same number that the perfect shuffle restores the order, random riffles nearly finish mixing it (Section 4).

Keywords: perfect shuffle, faro shuffle, multiplicative order of 2, riffle shuffle, card mixing

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/626/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/626 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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