YOI 629：期待値が無限の賭けも、胴元の資金を 10¹² 円に限れば約 41 円になる

論文629 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/629 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014552）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi629,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Game with Infinite Expectation Has an Expectation of About 41 Once the Bank Is Limited to 10¹²},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/629},
  doi = {10.5281/zenodo.23014552},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

表が出るまで硬貨を投げ、$k$ 回目に初めて表が出たら $2^k$ 円もらう賭け（サンクトペテルブルクの賭け）を考える。期待値は無限大である。何かを有限にすると、その無限がどこへ行くかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、期待値は無限大である。$k$ 回目に初めて表が出る確率は $1/2^k$、もらう額は $2^k$ 円なので、どの $k$ も期待値にちょうど $1$ 円ずつ足す。足す項が尽きないので、和は限りなく大きくなる（第2節）。

第二に、胴元の資金を $B$ 円に限ると、期待値は $\log_2 B$ ほどになる。$2^k$ が $B$ を超えたら $B$ 円しか払えないとすると、期待値は $K+B/2^K$（$K$ は $2^K$ が $B$ 以下となる最大の整数）で、$B=10^{12}$ 円でも $\mathbf{40.818989}$ 円である。$39$ 回目までが $1$ 円ずつ、その先がまとめて $1.818989$ 円になる。資金を $1000$ 倍にするごとに、期待値は $9.954224$ から $9.957367$ 円しか増えない（第3節）。

第三に、対数の効用で測ると、確実な額は $4$ 円である。もらう額そのものではなく、その自然対数の期待値で測ると（ベルヌーイ）、値は $2\ln 2=1.386294$ で、同じ値打ちの確実な額はちょうど $4$ 円になる（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。上限なしで遊ぶ回数だけを有限にすると、平均は落ち着かない。$n$ 回遊んだ平均の賞金を乱数で求め、$41$ 回くり返した中央値を取ると、$n=100$ で $8.62$ 円、$n=10^6$ で $\mathbf{22.295930}$ 円だった。$n$ を $10^4$ 倍にすると平均は $13.675930$ 円伸び、$\log_2 10^4=13.287712$ との差は $0.388218$ である。平均は $n$ の対数ほどで伸び続ける（第5節）。

第五に、分離子は、何を有限にするかである。胴元の資金を有限にすれば期待値は $\log_2 B$ ほど、効用を対数にすれば確実な額は $4$ 円、遊ぶ回数を有限にすれば平均は有限だが $n$ とともに伸び続ける。無限は、どこを切るかで別の姿で残る（第6節）。

キーワード：サンクトペテルブルクの賭け、期待値、対数効用、胴元の資金、ダニエル・ベルヌーイ

Abstract

A coin is tossed until heads, and $2^k$ is paid if the first head comes on toss $k$ (the St. Petersburg game).Its expectation is infinite. What becomes of that infinity when something is made finite is counted.No new theorem or law is claimed.

First, the expectation is infinite、the first head comes on toss $k$ with probability $1/2^k$ and pays $2^k$, so every $k$ adds exactly $1$ to the expectation. The terms never run out, so the sum grows without bound (Section 2).

Second, limiting the bank to $B$ brings the expectation to about $\log_2 B$、if only $B$ can be paid once $2^k$ exceeds $B$, the expectation is $K+B/2^K$ (with $K$ the largest integer for which $2^K$ does not exceed $B$), and even with $B=10^{12}$ it is $\mathbf{40.818989}$. Up to toss $39$ each adds $1$, and everything beyond adds $1.818989$ together. Each thousandfold increase of the bank adds only $9.954224$ to $9.957367$ (Section 3).

Third, measured by logarithmic utility, the certain equivalent is $4$、measuring not the amount but the expectation of its natural logarithm (Bernoulli), the value is $2\ln 2=1.386294$, and the certain amount of equal worth is exactly $4$ (Section 4).

Fourth, and this is the core.Making only the number of plays finite, without a cap, the average does not settle、the average prize over $n$ plays was simulated and the median of $41$ repetitions taken: $8.62$ for $n=100$ and $\mathbf{22.295930}$ for $n=10^6$. Multiplying $n$ by $10^4$ raised the average by $13.675930$, differing by $0.388218$ from $\log_2 10^4=13.287712$. The average keeps growing like the logarithm of $n$ (Section 5).

Fifth, the separator is what is made finite、a finite bank brings the expectation to about $\log_2 B$, logarithmic utility gives a certain equivalent of $4$, and a finite number of plays gives a finite average that keeps growing with $n$. The infinity remains in a different form depending on where it is cut (Section 6).

Keywords: St Petersburg paradox, expected value, logarithmic utility, bankroll limit, Daniel Bernoulli

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/629/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/629 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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