YOI 632：負ける賭け二つを混ぜると勝ち、勝率を資金によらず固定すると混ぜても負ける

論文632 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/632 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014562）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi632,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Mixing Two Losing Games Wins, but Fixing the Odds Regardless of Capital Makes the Mix Lose Too},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/632},
  doi = {10.5281/zenodo.23014562},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

勝てば $+1$、負ければ $-1$ の賭けを二つ用意する（パロンドの逆説）。A は勝率 $1/2-\varepsilon$、B は資金が $3$ で割り切れれば勝率 $1/10-\varepsilon$、そうでなければ $3/4-\varepsilon$ で、$\varepsilon=0.005$ とする。資金を $3$ で割った余りの動きから一回の期待の増えを正確に求め、乱数でも確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、どちらも一つずつなら負ける。一回の期待の増えは、A が $-0.010000$、B が $-0.008695$ である。B だけを続けると、資金が $3$ で割り切れる時間の割合は $0.383612$ になり、勝率 $0.095$ の悪い側で多く遊ぶ（第2節）。

第二に、半々に無作為に混ぜると勝つ、一回ごとに A か B を半々で選ぶと、期待の増えは $\mathbf{+0.015704}$ になる。AABB のくり返しも $+0.014651$ で勝つが、AB の交互のくり返しは $-0.006738$ で負ける。乱数 $2000000$ 回ずつで、A・B・無作為に混ぜる・AABB の四つとも符号が一致した（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。混ぜると、資金の余りの分布が変わる。A を混ぜると、資金が $3$ で割り切れる割合は $0.383612$ から $0.345070$ に下がる。その分布のもとで B を遊ぶと一回の期待の増えは $\mathbf{+0.041408}$ で、A の $-0.010000$ と半々にすると $+0.015704$ になる（第4節）。

第四に、勝率を資金によらず固定すると、混ぜても負ける。B の勝率を、B だけのときの実効の勝率 $0.495652$ に固定した B′ は、B と同じ $-0.008695$ で負ける。A と B′ を半々に混ぜると $-0.009348$ で、やはり負ける（第5節）。

キーワード：パロンドの逆説、負ける賭け、賭けの混合、マルコフ連鎖、資金に依る賭け

Abstract

Two games paying $+1$ for a win and $-1$ for a loss are set up (Parrondo’s paradox). A wins with probability $1/2-\varepsilon$; B wins with $1/10-\varepsilon$ if the capital is divisible by $3$ and $3/4-\varepsilon$ otherwise, with $\varepsilon=0.005$.The expected gain per round is found exactly from the motion of the capital’s remainder on division by $3$, and checked by simulation.No new theorem or law is claimed.

First, each game alone loses、the expected gain per round is $-0.010000$ for A and $-0.008695$ for B. Playing B alone, the capital is divisible by $3$ for a share $0.383612$ of the time, so much of the play is on the bad side with odds $0.095$ (Section 2).

Second, mixing half and half at random wins、choosing A or B with equal chance each round gives an expected gain of $\mathbf{+0.015704}$. Repeating AABB also wins, with $+0.014651$, but alternating AB loses, with $-0.006738$. Simulations of $2000000$ rounds each agreed in sign for all four of A, B, random mixing and AABB (Section 3).

Third, and this is the core.Mixing changes the distribution of the capital’s remainder、with A mixed in, the share of time the capital is divisible by $3$ falls from $0.383612$ to $0.345070$. Playing B under that distribution gives an expected gain of $\mathbf{+0.041408}$ per round, and averaging it half and half with A’s $-0.010000$ gives $+0.015704$ (Section 4).

Fourth, fixing the odds regardless of capital makes the mix lose、B′, with B’s odds fixed at B’s effective odds $0.495652$ regardless of capital, loses by the same $-0.008695$ as B. Mixing A and B′ half and half gives $-0.009348$, still a loss (Section 5).

Keywords: Parrondo's paradox, losing games, mixing games, Markov chain, capital-dependent game

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/632/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/632 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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