YOI 635：無作為に止める車は道の 0.747598 で詰まり、二マスずつ占めれば 0.864665 まで入る

論文635 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/635 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23014582）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi635,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Cars Parked at Random Jam at 0.747598 of the Street, but Fill 0.864665 When Each Takes Two Cells},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/635},
  doi = {10.5281/zenodo.23014582},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969434・969435・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 18:16（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

長い道の空いた場所へ、長さ $1$ の車を一台ずつ、入れる位置から一様に選んで止める。止めた車は動かさない。もう一台も入らなくなったとき、道の何割が埋まっているかを求める（レーニの駐車問題）。道を切れ目なく扱う場合と、マスに刻む場合を比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、切れ目のない道は $0.747598$ で詰まる。レーニの積分の式を数値で積分すると $\mathbf{0.747598}$ である。長さ $100000$ の道に止め切る乱数を $20$ 回くり返すと平均 $0.747457$ で、式との差 $0.000140$ は平均の標準誤差 $0.000110$ の三倍より小さい（第2節）。

第二に、道をマスに刻むと、埋まる割合が変わる。一台が $k$ マスを占めるとし、止まる台数の期待値の漸化式から求めると、$k=1$ で $1.000000$、$k=2$ で $0.864665$（知られた $1-e^{-2}$ と一致）、$k=3$ で $0.823653$、$k=10$ で $0.769577$、$k=1000$ で $0.747814$ だった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。車の長さに対して道を細かく刻むほど、詰まったときに多くの隙間が残る。$k$ を増やすと埋まる割合は単調に下がり、切れ目のない道の $0.747598$ に近づく。式との差に $k$ を掛けると、$k=100$ で $0.216543$、$k=1000$ で $0.216217$ とほぼそろい、差はおよそ $0.2165/k$ で縮む（第3節）。

第四に、一台が一マスなら全部埋まる。$k=1$ では、空いたマスがあればいつでも一台入るので、隙間は残らない。二マス以上をまたぐと、占める長さより短い隙間が、どれだけ待っても埋まらずに残る（第3節・第4節）。

キーワード：レーニの駐車定数、無作為逐次吸着、ラングミュア吸着、格子の漸化式、乱数による検算

Abstract

Cars of length $1$ are parked one at a time in the free places of a long street, each at a position chosen uniformly among those where it fits, and never moved. When no further car fits, the share of the street filled is sought (Rényi’s parking problem).A street without breaks is compared with one cut into cells.No new theorem or law is claimed.

First, a street without breaks jams at $0.747598$、integrating Rényi’s formula numerically gives $\mathbf{0.747598}$. Parking a street of length $100000$ full, $20$ times at random, gives an average of $0.747457$, and the difference from the formula, $0.000140$, is less than three times the standard error of the mean, $0.000110$ (Section 2).

Second, cutting the street into cells changes the filled share、with each car taking $k$ cells, the share from the recursion for the expected number of cars is $1.000000$ for $k=1$, $0.864665$ for $k=2$ (agreeing with the known $1-e^{-2}$), $0.823653$ for $k=3$, $0.769577$ for $k=10$ and $0.747814$ for $k=1000$ (Section 3).

Third, and this is the core.The finer the street is cut relative to the car, the more gaps remain when it jams、as $k$ grows the share falls steadily towards the $0.747598$ of the street without breaks. Multiplying the difference from the formula by $k$ gives $0.216543$ for $k=100$ and $0.216217$ for $k=1000$, nearly equal, so the difference shrinks roughly as $0.2165/k$ (Section 3).

Fourth, one cell per car fills everything、with $k=1$, any empty cell can always take a car, so no gap remains. Once a car spans two cells or more, gaps shorter than a car remain unfilled however long one waits (Sections 3 and 4).

Keywords: Renyi parking constant, random sequential adsorption, Langmuir adsorption, lattice recurrence, Monte Carlo check

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/635/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/635 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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