YOI 760：アムダールとグスタフソンの食い違いは、逐次の割合を一台で測るか並列で測るかの違いである

論文760 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/760 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015191）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi760,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Amdahl and Gustafson Disagree Only Because the Serial Fraction Is Measured on One Machine or on Many},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/760},
  doi = {10.5281/zenodo.23015191},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

並列化の限界は、アムダールの法則では厳しく、グスタフソンの法則では甘く見える。二つは対立する法則だと言われることがある。二つが入れている「逐次の割合」を、どの実行で測った数かで分けて数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、同じ数を入れると、大きく食い違う。逐次 $0.01$ で $10000$ 台なら、アムダール $\mathbf{99.019705}$ 倍、グスタフソン $\mathbf{9900.010000}$ 倍、$\mathbf{99.980201}$ 倍（第2節）。

第二に、一台で $0.01$ の逐次は、並列の実行では大半を占める。$100$ 台で $\mathbf{0.502513}$、$10000$ 台で $\mathbf{0.990197}$（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。並列の実行で測った割合を入れると、二つの法則は一致する。グスタフソンが返すのは $\mathbf{50.251256}$・$\mathbf{99.019705}$ で、アムダールと同じ（第3節）。

第四に、一致は割合を変えても崩れない。並列の割合 $0.99$ と $0.90$、台数 $10$ から $10000$ の $8$ 通りすべて（第3節）。

第五に、その割合は論文705 の外れの割合と同じ式の値である。$100$ 台の $\mathbf{0.502513}$ は、当たり率 $0.99$・外れ $100$ 倍で外れが使う時間の割合と同じ（第4節）。

第六に、分離子は、固定しているのが問題の大きさか、かかる時間かである。「限界は $100$ 倍か $9900$ 倍か」は、割合をどの実行で測ったかを言うまで答が無い（第5節）。

キーワード：並列化の限界、アムダールの法則、グスタフソンの法則、逐次の割合、問題の大きさと時間の固定、測る実行

Abstract

The limit of parallelisation looks severe under Amdahl’s law and generous under Gustafson’s. The two are sometimes called opposing laws.The “serial fraction” each takes is counted according to which run it was measured on.No new theorem or law is claimed.

First, given the same number, they disagree greatly、with serial $0.01$ on $10000$ machines, Amdahl $\mathbf{99.019705}$ times, Gustafson $\mathbf{9900.010000}$ times, a factor of $\mathbf{99.980201}$ (Section 2).

Second, serial $0.01$ on one machine is most of the parallel run、$\mathbf{0.502513}$ on $100$ machines, $\mathbf{0.990197}$ on $10000$ (Section 3).

Third, and this is the core. With the share measured on the parallel run, the two laws agree、Gustafson returns $\mathbf{50.251256}$ and $\mathbf{99.019705}$, the same as Amdahl (Section 3).

Fourth, the agreement holds across fractions、all $8$ cases, parallel fractions $0.99$ and $0.90$, from $10$ to $10000$ machines (Section 3).

Fifth, that share is the value of the same expression as Paper 705’s miss share、$\mathbf{0.502513}$ on $100$ machines equals the time share of misses at hit rate $0.99$ with misses $100$ times as costly (Section 4).

Sixth, the separator is whether the problem size or the time is held fixed、“is the limit $100$ times or $9900$ times?” has no answer until one says on which run the fraction was measured (Section 5).

Keywords: limits of parallelisation, Amdahl's law, Gustafson's law, serial fraction, fixing problem size or time, which run is measured

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/760/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/760 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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