YOI 769：素数の間隔の平均は ln x で当たるが、最大の間隔はその平均からどんどん離れていく

論文769 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/769 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015255）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi769,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Average Gap Between Primes Is Right at ln x, but the Largest Gap Moves Ever Further from That Average},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/769},
  doi = {10.5281/zenodo.23015255},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

素数定理は、$x$ のあたりで素数がおよそ $\ln x$ おきに現れると言う。それは平均の話である。平均の間隔と、いちばん長い間隔を、範囲を広げながら並べて数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、平均の間隔は $\ln x$ に近づく。比は $10^{3}$ で $\mathbf{0.861695}$、$10^{6}$ で $\mathbf{0.922092}$（第2節）。

第二に、最大の間隔は $\ln p$ から離れていく。比は $\mathbf{2.946443}$・$\mathbf{3.928244}$・$\mathbf{6.953520}$・$\mathbf{8.697998}$（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。平均が当たるほど、最大は平均から遠くなる。$100$ 万まで、平均は $\ln x$ の $0.922092$ 倍、最大は $\ln p$ の $8.697998$ 倍（第2節）。

第四に、最大の間隔は飛び飛びに更新される。$52$・$72$・$86$・$96$・$112$・$114$（第3節）。

第五に、素数の無い並びは、いくらでも長く作れる。$10!+2$ から $10!+10$、$12!+2$ から $12!+12$ はすべて合成数（第3節）。

第六に、分離子は、数えているのが間隔の平均か、いちばん長い間隔かである。平均は素数定理が決め、最大は決めない（第4節）。

キーワード：素数の間隔、素数定理、最大の間隔、平均と極値、素数の無い並び、エラトステネスのふるい

Abstract

The prime number theorem says that near $x$ primes appear roughly every $\ln x$. That is a statement about averages.The average gap and the longest gap are counted side by side as the range grows.No new theorem or law is claimed.

First, the average gap approaches $\ln x$、the ratio is $\mathbf{0.861695}$ at $10^{3}$ and $\mathbf{0.922092}$ at $10^{6}$ (Section 2).

Second, the largest gap moves away from $\ln p$、ratios $\mathbf{2.946443}$, $\mathbf{3.928244}$, $\mathbf{6.953520}$, $\mathbf{8.697998}$ (Section 2).

Third, and this is the core. The better the average fits, the further the maximum strays、up to one million, the average is $0.922092$ of $\ln x$ and the maximum $8.697998$ times $\ln p$ (Section 2).

Fourth, the largest gap is updated in jumps、$52$, $72$, $86$, $96$, $112$, $114$ (Section 3).

Fifth, runs without primes can be made as long as one likes、$10!+2$ to $10!+10$ and $12!+2$ to $12!+12$ are all composite (Section 3).

Sixth, the separator is whether one counts the average gap or the longest gap、the prime number theorem sets the average and does not set the maximum (Section 4).

Keywords: prime gaps, prime number theorem, largest gap, average and extreme, prime-free runs, sieve of Eratosthenes

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/769/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/769 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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