YOI 771：凸でない関数では、どこから始めたかが答を決める

論文771 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/771 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015259）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi771,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {For a Function That Is Not Convex, Where You Start Decides the Answer},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/771},
  doi = {10.5281/zenodo.23015259},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

勾配降下は、坂を下って最小を探す。坂が一つの谷なら、どこから下りても同じ底に着く。谷が二つあるとき、始点が行き先をどれだけ決めるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、凸でない関数には、底が二つある。左の極小 $\mathbf{-1.264459}$ と右の極小 $\mathbf{1.180734}$、あいだに極大 $\mathbf{0.083725}$（第2節）。

第二に、二つの底の深さは違う。$f$ は左で $\mathbf{-2.872457}$、右で $\mathbf{-1.648425}$ で、大域の最小は左（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。始点が行き先を分け、ほぼ半分が浅い底に着く。$1001$ 点のうち左へ $\mathbf{0.520480}$、右へ $\mathbf{0.479520}$（第3節）。

第四に、境を決めているのは極大の位置である。式の割合 $\mathbf{0.520931}$ と、格子の割合との差は $\mathbf{0.000452}$（第3節）。

第五に、凸なら、始点は答に効かない。$1001$ 点すべてが $\mathbf{-0.226699}$ に着き、ばらつきは $1.027\times10^{-15}$（第3節）。

第六に、分離子は、二階微分がどこでも正か、負になるところがあるかである。「勾配降下で最小を求めた」は、関数が凸かを言うまで、どの最小かが決まらない（第4節）。

キーワード：凸性、局所最小、勾配降下、初期値依存、引き込み領域、大域最小

Abstract

Gradient descent seeks a minimum by walking downhill. If the landscape is a single valley, every start reaches the same bottom.When there are two valleys, how much the start decides the destination is counted.No new theorem or law is claimed.

First, a non-convex function has two bottoms、a left minimum at $\mathbf{-1.264459}$ and a right minimum at $\mathbf{1.180734}$, with a maximum at $\mathbf{0.083725}$ between (Section 2).

Second, the two bottoms differ in depth、$f$ is $\mathbf{-2.872457}$ on the left and $\mathbf{-1.648425}$ on the right; the global minimum is on the left (Section 2).

Third, and this is the core. The start splits the destination, and nearly half reach the shallower bottom、of $1001$ starts, a share $\mathbf{0.520480}$ goes left and $\mathbf{0.479520}$ right (Section 3).

Fourth, the boundary is set by the position of the maximum、the formula gives $\mathbf{0.520931}$, differing from the grid share by $\mathbf{0.000452}$ (Section 3).

Fifth, if convex, the start does not matter、all $1001$ points reach $\mathbf{-0.226699}$, with a spread of $1.027\times10^{-15}$ (Section 3).

Sixth, the separator is whether the second derivative is positive everywhere or negative somewhere、“the minimum was found by gradient descent” does not say which minimum until one says whether the function is convex (Section 4).

Keywords: convexity, local minimum, gradient descent, dependence on the start, basin of attraction, global minimum

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/771/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/771 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ