YOI 791：二本の腕の届き方は目標の場所で 0・1・2 通りに分かれ、関節を足すと途切れない幅になる

論文791 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/791 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015366）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi791,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Two-Link Arm Reaches a Target in 0, 1 or 2 Ways by Where It Is, and One More Joint Makes a Continuous Range},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/791},
  doi = {10.5281/zenodo.23015366},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ロボットの腕で「その場所に届くか」を問うとき、答は届くか届かないかの二つに見える。二本と三本の平面の腕で、目標の置き場所ごとに関節の角度の組が何通りあるかと、縁の近くで払う代価を数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、届く範囲の内側では、届き方が二通りある。目標までの距離 $0.5$ m で $\mathbf{2}$ 通り（肘を上げる形と下げる形）（第2節）。

第二に、縁ではちょうど一通り、外ではゼロ、$0.2$・$0.8$ m で $\mathbf{1}$ 通り、$0.1$・$0.9$ m で $\mathbf{0}$ 通り。ニュートン法でも同じ数（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。縁に近づくほど、届くための代価が跳ね上がる。手先を $0.1$ m/s で外へ動かす関節の速さは、$r=0.7$ m で $\mathbf{0.568591}$、$0.7999$ m で $\mathbf{17.440886}$ rad/s（第3節）。

第四に、届く範囲は輪の形をしている。面積 $\mathbf{1.884956}$ m$^{2}$、乱数で $0.736870$（式 $0.736311$）（第2節）。

第五に、関節を一つ足すと、解は数えられる個数ではなくなる。同じ目標に届く一つ目の関節の角度は、幅 $\mathbf{1.664695}$ rad（全周の $\mathbf{0.264944}$）にわたって途切れない（第4節）。

第六に、分離子は、目標が届く範囲の内か縁か外か、そして関節の数が目標の自由度を超えるかである。「この腕はその場所に届くか」は、何通りで届くかと、縁での代価を言うまで答にならない（第5節）。

キーワード：逆運動学、ロボットの腕、特異姿勢、作業領域、冗長自由度、ヤコビアン

Abstract

Asking whether a robot arm can reach a place, the answer seems to be one of two: it can or it cannot.With planar arms of two and three links, how many joint-angle sets reach each target position, and the price paid near the edge, are counted.No new theorem or law is claimed.

First, inside the reachable region there are two ways to reach、$\mathbf{2}$ ways at $0.5$ m (elbow up and elbow down) (Section 2).

Second, exactly one way on the edge, none outside、$\mathbf{1}$ way at $0.2$ and $0.8$ m, $\mathbf{0}$ ways at $0.1$ and $0.9$ m; Newton’s method finds the same counts (Section 2).

Third, and this is the core. The closer to the edge, the more the price of reaching jumps、the joint speed for moving the hand outward at $0.1$ m/s is $\mathbf{0.568591}$ rad/s at $r=0.7$ m and $\mathbf{17.440886}$ rad/s at $0.7999$ m (Section 3).

Fourth, the reachable region is a ring、area $\mathbf{1.884956}$ m$^{2}$; random sampling gives $0.736870$ (formula $0.736311$) (Section 2).

Fifth, one more joint and the solutions are no longer a countable number、the first joint angle reaching the same target runs unbroken over $\mathbf{1.664695}$ rad ($\mathbf{0.264944}$ of the full turn) (Section 4).

Sixth, the separator is whether the target is inside, on the edge of or outside the reachable region, and whether the number of joints exceeds the target’s degrees of freedom、“can this arm reach that place” is not answered until one says in how many ways and at what price at the edge (Section 5).

Keywords: inverse kinematics, robot arm, singular configuration, workspace, redundancy, Jacobian

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/791/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/791 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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