YOI 795：流す仕事と血の代価を最小にすると、流量は半径の三乗に比例し分かれ目でずり応力が保たれる

論文795 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/795 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015385）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi795,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Minimizing Flow Work Plus the Cost of Blood Makes Flow Scale as the Radius Cubed and Keeps Wall Shear Stress at Branches},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/795},
  doi = {10.5281/zenodo.23015385},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

血管は枝分かれするたびに細くなる。太い管ほど血を流す仕事は小さいが、そのぶん多くの血を体に保たなければならない。流す仕事と血を保つ代価の和を最小にする半径を数値で探し、流量との関係、枝分かれでの半径・断面積・流速・壁のずり応力、分かれる角度を数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。最適な半径の三乗が、流量に比例する。流量を $10^{-4}$ から $10^{-9}$ m$^{3}$/s まで変えたときの対数の傾きは $\mathbf{3.000000}$（第2節）。

第二に、同じ太さに分かれると、子の半径は親の $2^{-1/3}$ 倍になる。$\mathbf{0.793701}$ 倍で、断面積の合計は $\mathbf{1.259921}$ 倍に増える（第3節）。

第三に、枝分かれしても、壁のずり応力は変わらない。子と親の比は $\mathbf{1.000000}$、流速は $\mathbf{0.793701}$ 倍に下がる（第3節）。

第四に、断面積を保つ分かれ方は、最適ではない。子の代価は最適の $\mathbf{1.058267}$ 倍、流す仕事は $\mathbf{1.587401}$ 倍（第3節）。

第五に、分かれる角度も、同じ最小化から決まる。片側 $\mathbf{37.467311}$ 度、両側で $\mathbf{74.934622}$ 度（第4節）。

第六に、分離子は、何を最小にするか（流す仕事と血を保つ代価の和か、断面積や流速を保つことか）、「血管は枝分かれしても流れを保つように細くなる」は、何を保つと言うのかを言うまで真偽が決まらない（第5節）。

キーワード：マレーの法則、血管の枝分かれ、管の流れ、最小の仕事、壁のずり応力、分岐角

Abstract

Blood vessels narrow each time they branch. A wider vessel costs less work to push blood through, but more blood must be kept in the body.The radius minimizing the sum of flow work and the cost of keeping blood is searched numerically, and its relation to flow, the radius, cross-section, speed and wall shear stress at a branch, and the branching angle are counted.No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core. The cube of the optimal radius is proportional to flow、varying flow from $10^{-4}$ to $10^{-9}$ m$^{3}$/s gives a logarithmic slope of $\mathbf{3.000000}$ (Section 2).

Second, splitting into two equal branches makes each child’s radius $2^{-1/3}$ of the parent’s、$\mathbf{0.793701}$ times, with total cross-section growing to $\mathbf{1.259921}$ times (Section 3).

Third, wall shear stress does not change at a branch、child over parent is $\mathbf{1.000000}$, while flow speed falls to $\mathbf{0.793701}$ times (Section 3).

Fourth, an area-preserving split is not optimal、each child’s cost is $\mathbf{1.058267}$ times the optimum and its flow work $\mathbf{1.587401}$ times (Section 3).

Fifth, the branching angle follows from the same minimization、$\mathbf{37.467311}$ degrees on each side, $\mathbf{74.934622}$ degrees in total (Section 4).

Sixth, the separator is what is minimized (the sum of flow work and the cost of keeping blood, or preservation of cross-section or flow speed)、“vessels narrow at branches so as to preserve the flow” has no truth value until one says what is preserved (Section 5).

Keywords: Murray's law, vascular branching, tube flow, minimum work, wall shear stress, branching angle

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/795/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/795 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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