YOI 808：同じ式でも、真理値表で分けると 4 種類、世界の広がりで分けると 6 種類になる

論文808 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/808 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.23015453）。

本文のサイトの記事は、これから順に公開します。

@misc{yamagishi2026yoi808,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same Formulas Split Into Four Kinds by Truth Tables and Into Six by Widening Worlds},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/808},
  doi = {10.5281/zenodo.23015453},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969440・969456・969461 に記録されました（2026年10月01日 19:28（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「成り立つ」という語を、真理値表で決まるものとして読むか、世界が広がっても壊れないものとして読むかで、同じ式の集まりが別々に分かれる。一変数の論理式を深さ $2$ まで全部作り、二通りの分け方で種類を数えた。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、真理値表で分けると、深さをいくら増やしても $4$ 種類しかない。深さ $1$ の $33$ 式でも、深さ $2$ の $3303$ 式でも、つねに偽・$P$・$\neg P$・つねに真 の $4$ 種類である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。世界の広がりで分けると種類が増える。世界 $3$ 個までのクリプキ模型 $828$ 個で分けると、深さ $1$ で $4$ 種類、深さ $2$ で $6$ 種類（$1.500000$ 倍）になる（第3節）。

第三に、落ちるのは三つ、残るのは一つである。排中律・二重否定の除去・パースの法則は落ち、二重否定の導入は全模型で成り立つ。落ちる最小の反例は世界 $2$ 個（第4節）。

第四に、落ちる式は全体のごく一部である。古典で恒真な $1667$ 式のうち $1635$ 式（$0.980804$）は世界を広げても成り立ち、落ちるのは $32$ 式（$0.019196$）だけである（第4節）。

第五に、二重否定を付ければ、落ちた式も全部通る。$\neg\neg\varphi$ の形にすると $1667$ 式すべてが成り立つ（$1.000000$）（第5節）。

第六に、分離子は、真理値表で分けるか、世界の広がりで分けるかである。「同じ式か」という問いは、どちらの分け方で聞いているかを言うまで答が決まらない（第6節）。

キーワード：直観主義論理、クリプキ模型、排中律、二重否定、グリヴェンコの定理、恒真式

Abstract

Reading “holds” as decided by a truth table, or as surviving however the worlds widen, splits the same collection of formulas in two different ways.All one-variable formulas up to depth $2$ were built, and the kinds were counted under both splittings.No new theorem or law is claimed.

First, truth tables give only $4$ kinds, however far the depth is increased、both the $33$ formulas of depth $1$ and the $3303$ of depth $2$ give always-false, $P$, $\neg P$, always-true (Section 2).

Second, and this is the core. Splitting by widening worlds increases the kinds、with the $828$ Kripke models on up to $3$ worlds, depth $1$ gives $4$ kinds and depth $2$ gives $6$ ($1.500000$ times) (Section 3).

Third, three fail and one survives、excluded middle, double-negation elimination and Peirce’s law fail, while double-negation introduction holds in every model; the smallest counterexample has $2$ worlds (Section 4).

Fourth, the failures are a small part of the whole、of $1667$ classical tautologies, $1635$ ($0.980804$) still hold once the worlds widen, and only $32$ ($0.019196$) fail (Section 4).

Fifth, adding a double negation lets every failed formula through、in the form $\neg\neg\varphi$ all $1667$ hold ($1.000000$) (Section 5).

Sixth, the separator is whether one splits by truth tables or by widening worlds、“are these two formulas the same?” has no answer until one says under which splitting the question is asked (Section 6).

Keywords: intuitionistic logic, Kripke model, excluded middle, double negation, Glivenko's theorem, tautology

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/808/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/808 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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